quantificateurs

[invitedf04a0e5]

bjr, je dois exprimer à l'aide de quantificateurs les assertions suivantes :
(soit I un intervalle de R et f: I->R une fonction définie sur I à valeurs réelles)

a) la fonction f s'annule
b) la fonction f est la fonction nulle
c) f ne peut s'annuler qu'une seule fois
d) f n'est pas une fonction constante
e) f ne prend jamais deux fois la même valeur
f) f présente un minimum
g) f prend des valeurs arbitrairement grandes

est ce que vous pouriez me dire si ce que j'ai fait est juste et m'aider pour les 2 que je n'ai pas trouvés ?

mes réponses :a)il existe x appartenant à I tel que f(x) =0
b) pour tout x appartenant à I, f(x) =0
c) il existe un unique x appartenant à I tel que f(x)=0
d) ?????????
e) pour tout x appartenant à I, il n'existe pas de y appartenant à I tel que f(x) = f(y)
f) pour tout x appartenant à I, il existe y appartenant à I tel que f(x)>f(y)
g) ?????????
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[invite88ef51f0]

Salut,

f) pour tout x appartenant à I, il existe y appartenant à I tel que f(x)>f(y)

Non. Il ne faut pas que le y dépende de x, il faut donc le placer avant.

d) f n'est pas une fonction constante

Qu'est-ce que ça veut dire que ce n'est pas constant ?

g) f prend des valeurs arbitrairement grandes

Dit autrement, si tu te fixe un nombre quelconque alors f prendra à un moment une valeur plus grande que ce nombre.

[invitedacbfb40]

[Supprimé]

[invite88ef51f0]

Non, parce que c'est "pour tout x".

Par exemple, prenons la fonction x->x sur R, qui n'admet pas de minimum.Pourtant ça respecte "pour tout x appartenant à I, il existe y appartenant à I tel que f(x)>f(y)" : cite n'importe quel x dans R et je te trouve un y plus petit.
Par contre, si on dit "il existe y appartenant à I tel que pour tout x appartenant à I f(x)>f(y)", alors je n'arriverais pas à trouver de y qui marche pour tout x.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

e) f ne prend jamais deux fois la même valeur
[...]
e) pour tout x appartenant à I, il n'existe pas de y appartenant à I tel que f(x) = f(y)

Hello,

Ta réponse telle quelle est fausse : pour tout x appartient à I, il existe bien y dans I tel que f(x)=f(y) : avec y=x

Donc tu dois rajouter quelque chose...

[invitedf04a0e5]

donc f) ca donne : il existe y appartenant à I tel que pour tout x appartenant à I f(x)>f(y)

d) si f n'est pas constante ca veut dire que f est croissante ou décroissante ?? c'est ca ?

g) c'est ici alors que y dépend de x ? : pour tout x, il existe y tel que f(y)>f(x)

[invite9c9b9968]

Hello,

Pour d), pense à la fonction sinus : ni croissante, ni décroissante, et sûrement pas constante

[inviteaf1870ed]

Si la fonction est constante combien de valeurs prend elle ?

[invitedf04a0e5]

Si la fonction est constante combien de valeurs prend elle ?

elle ne prend qu'une seule valeur

donc si f est constante , pour tout x f(x) = k

mais si elle n'est pas constante , je ne vois vraiment pas comment exprimer ca avec des quantificateurs

[invite9c9b9968]

Si elle n'est pas constante, tu peux trouver quoi comme x et y vérifiant quoi comme condition pour exprimer la non constance ?

[invitedf04a0e5]

ben justement j'arrive pas a trouver la condition pour exprimer la non constance

[invitedf04a0e5]

est ce que se serait :
quelque soit x et y appartement a I il n'existe pas de k appartenant a R tel que f(x) = f(y) = k ??

[invite9c9b9968]

Bon prenons un exemple, avec sinus justement.

Tu vois que la fonction sinus est non constante parce que par (par exemple). Tu as donc trouvé deux réels qui ont une image différente par la fonction sinus.

Pourrais-tu me quantifier la non constance de la fonction sinus ?

[invitedf04a0e5]

quels que soient x et y appartenant a R sinus y différent de sinus x

[invite9c9b9968]

Non ce n'est pas ça. La preuve, tu as . Pour que sinus soit non constante, il suffit juste de trouver deux réels distincts tels que leur image soit distincte (ce que j'ai fait avec et ).

Alors maintenant, ça te donne une idée ?

[Médiat]

La preuve, tu as .

Je dirais même plus : la preuve, tu as .

[invite9c9b9968]

Ah oui tiens, pas bête aussi

[invitedf04a0e5]

Non ce n'est pas ça. La preuve, tu as . Pour que sinus soit non constante, il suffit juste de trouver deux réels distincts tels que leur image soit distincte (ce que j'ai fait avec et ).

Alors maintenant, ça te donne une idée ?

quel que soit x,y appartenant à R avec x différent de y , f(x) différent de
f(y) ????????

[invite9c9b9968]

Je sais que tu as des difficultés avec cet exercice, mais fais moi plaisir : réfléchis un peu avant d'écrire...

[Médiat]

c) f ne peut s'annuler qu'une seule fois
c) il existe un unique x appartenant à I tel que f(x)=0

Les "vrais" quantificateurs sont et , "il existe un et un seul" généralement noté est plus une astuce d'écriture qu'un vrai quantificateur, il me semble que l'intérêt de cette question est justement d'écrire la condition en n'utilisant que et .

[Médiat]

g) c'est ici alors que y dépend de x ? : pour tout x, il existe y tel que f(y)>f(x)

Là tu dis que la fonction n'a pas de maximum global, mais pas qu'elle peut prendre des valeurs arbitrairement grandes.