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triangle rectangle



  1. #1
    Syllys

    triangle rectangle


    ------

    bonsoir ,
    je sollicite votre aide pour résoudre un problème qui me tient à coeur :
    soit un triangle ABC , d'angles a ,b et c
    la question est de montrer que sin2a+sin2b+sin2c=2 si et seulement si ABC est rectangle .

    les questions precedentes montraient que sin2a=sin2b+sin2c-2*sin a sin b cos c (avec al kashi + formule des sinus).

    pour le sens ABC rect => ... ca va mais je ne vois pas comment faire l'autre sens .

    merci bien amis mathematiciens pour votre aide !

    -----

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  3. #2
    GuYem

    Re : triangle rectangle

    Suppose l'égalité vérifiée et injecte la dans la formule montrée dans les questions précédentes.

    Tu devrait arriver à une identité qui impose que l'un des angles a,b ou c soit droit.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    Syllys

    Re : triangle rectangle

    je fais:
    sin2a=2-sin2a-2sin b sin c cos a
    2sin2a=2-2sin b sinc cos a
    sin2a=1 - sinb sin c cos a
    0= cos a (cos a - sin b sinc )
    cos a =0 ou cos a = sin b sin c et ? je vois pas ...

  5. #4
    GuYem

    Re : triangle rectangle

    Toutes tes éuqations sont justes ; mais tu n'as pas encore utilisé l'hypothèse !

    Il faut que tu utilises quelque part que sin2a+sin2b+sin2c=2 sinon tu ne risques pas de montre que
    sin2a+sin2b+sin2c=2 => ABC rectangle
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  6. #5
    Syllys

    Re : triangle rectangle

    ben, si je suis parti de la :
    sin2a+sin2b+sin2c=2
    donc sin2b+sin2c=2-sin2a
    donc puisque sin2a=sin2b+sin2c-sin b sin c cos a , sin2a=2-sin2a- sin b sinc cos a et la suite c'est le topic d'avant ...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    GuYem

    Re : triangle rectangle

    Autant pour moi (no comment)

    Bon alors je crois qu'en fait tu as plus ou moins fini, quand tu arrives à :
    cos a =0 ou cos a = sin b sin c

    Si cos a qui est nul alors le triangle est rectangle en A (a c'est l'angle opposé à A je suppose ?). Sinon essayer de faire "tourner les lettres" me parait une bonne idée.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  10. #7
    Syllys

    Re : triangle rectangle

    oui je suis d'accord avec toi , mais que faire avec le cas cos a = sinb sinc ? il faut montrer que c'est impossible , je pensais utiliser a= pi - (b+c) et tomber sur un truc absurde mais je tourne en rond ....

  11. #8
    Syllys

    Re : triangle rectangle

    en fait je crois que j'ai trouvé :
    cos a = sin b sin c
    =>cos2a= sin2b sin2c
    or cos2a = 2 -sin2b -sin2c

    donc sin2b sin2c = 2 -sin2b -sin2c
    soit sin2b +sin2c + sin2b sin2c=2

    or 2> (sin b + sin c)2=sin2b +sin2c+2 sin2b sin2c >=sin2b +sin2c + sin2b sin2c=2
    impossible donc cos a = 0.
    je sais pas si c'est ca , ca me parrait bien compliqué . quand penses tu ?

  12. #9
    Syllys

    Re : triangle rectangle

    Citation Envoyé par Syllys
    or cos2a = 2 -sin2b -sin2c
    de toute facon c'est meme pas vrai , je dis n'importe quoi .

  13. #10
    Syllys

    Re : triangle rectangle

    j'renvoie un p'tit coup si quelqu'un peut m'aider à montrer qu'on peut pas avoir cos a = sinb sin c ce serait super sympa .merci

  14. #11
    pgeod

    Re : triangle rectangle

    la nuit a été courte, semble-t-il ?
    la résolution du pb a bien démarré...
    le reste est plutôt simple, si on en revient à la relation
    élémentaire entre les angles d'un triangle : A+B+C = pi
    Il te reste effectivement à demontrer à quelles conditions sur A, B ou C, on a cosA = sinB sinC (1)
    un petit bout de résolution pour avancer :
    cosA = cos (pi - (B+C))
    = - cos (B+C) ...> à développer (cos d'une somme)
    ....> à remplacer dans l'équalité (1)
    ....> simplifier l'égalité (1)
    ....> conclure sur valeur de B et C
    facile !!

  15. #12
    Syllys

    Re : triangle rectangle

    donc on arrive à cos b cos c =0 donc cos b= 0 ou cos c=0 ; ouf le triangle est rectangle.
    merci beaucoup pgeod , et guyem aussi ; ca commencait à gravement m'em... cette histoire de sinus et cosinus . ca y est je vais pouvoir dormir ....

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  17. #13
    agafra

    Re : triangle rectangle

    Je n'ai pas tout suivi, est-il possible d'être plus détaillé :

    sin2 A = 2 - sin2 B - sin2 C je ne comprends pas la suite.

    Merci.

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