problème de triangle rectangle :S

[invitef657fe61]

Bonjour à tous,

Je suis en terminale S option math, et j'ai une interrogation sur la divisibilité dans Z demain.

Je me trouve confronter à un exercice où je ne vois pas la solution.

Voici l'énnoncé :

Les mesures des côtés d'un triangle rectangle sont des nombres entiers a, b et c.

1. Démontrez que l'un au moins des trois nombres a, b , c est pair.
2. Démontrez que l'un au moins des trois nombres a, b , c est divisible par 3.
3.Démontrez que l'un au moins des trois nombres a, b , c est divisible par 4.
4.Démontrez que l'un au moins des trois nombres a, b , c est divisible par 5.

Je n'en tire vraiment rien. La seul chose que je sais en faite, c'est que un triangle avec des nombres entiers pour chaque côté est obligatoirement soumis à la règle des multiples 3,4,5 (côté égal à un multiple de 3, un autre de 4, un autre de 5). Mais de là à le démontrer... D'où premier triangle possible 3,4,5 puis 6,8,10 puis 12,16,20 etc... Ceci ce vérifie à l'aide de c² = a² + b² si c est l'hypothénuse.

pour ce qui est de la question, là encore je ne sais pas répondre mais la seul idée qui m'est venu c'est raisonnement par l'absurde.
Admettons que il n'y ait que des côtés étant égaux à des nombres impaires => aucun cas alors où il y ait au moins 1 côté pair.
et pourtant => a = 3, b = 4, c = 5 , b étant pair, et 5² = 4²+3² est correct. donc il éxiste au moins 1 cas où l'on a au moins 1 côté pair.

Mais sa ne démontre pas l'aspect général...

Merci de votre aide par avance pour chacune des questions...
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[iwio]

tu as c² = a² + b²

tu fais seulement le cas ou a impair et b impair
tu obtiens :
impair au carré => ça donne un impair
=> a² + b² donne un nombre pair
=> c² = nb pair
=> c = nombre pair

Si tu fais a impair et b pair, tu as deja ton nombre pair "b"

Voila, je pense que c'est comme ça qu'il faut démontrer.

[shokin]

En effet, a^2 + b^2 = c^2

Que dis-tu de :

a = x^2 - y^2
b = 2xy
c = x^2 + y^2

?

avec x et y des entiers.

Il y a donc une infinité de triplets pythagoriciens irréductibles :

(3;4;5)
(5;12;13)
(8;15;17)
(7;24;25)
...

Bonne investigation !

Shokin

[invitef657fe61]

En effet, merci beaucoup pour vos indications !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef657fe61]

j'ai décelé un problème dans les dires de iwio...

si a = 3 et b = 5
a² + b² = 34 => c² paire
mais racine(c²) ne donne pas un nombre pair... ( sa donne 5,83...)

Y aurait-il une issus?

[shokin]

On suppose que a, b et c sont entiers.

Le problème ne se pose donc pas.

Shokin

[invitef657fe61]

oui, merci beaucoup shokin =)

[invitef657fe61]

pour les questions 2,3,4 , on peut dire que si un nombre est egal à 3n, 4n, ou 5n, n entier naturel quelconque, alors au moins 1 de a , b c est divisible par 3,4, ou 5.
seulement je ne vois comment tu as trouvé :
a = x^2 - y^2
b = 2xy
c = x^2 + y^2

shokin, (en plus sa marche :S).
il faudra en faite que je démontre que la relation de pythagore est vérifié si au moins 1 côté est multiple de 3, 4, ou 5.
Le pb en plus, c'est que avec la question 1, sa aide pas vraiment.
1 nombre peut être pair, sans être multiple de 3,4, ou 5.
exemple : 14, c'est un multiple de 14, 7, 2, 1 mais pas de 3, 4 ou 5.
o_O
mon dieu que faire.
en faite je vois vraiment pas comment me dépatouiller...
il faudrait surement trouver un rélation de la sorte que si a = n, alors b est forcément égal à m, pour que c soit un entier y.

c doit etre entier.
Donc , c = racine(a²+b²)avec a²+b² multiple d’un nombre entier.
Donc, à la base, a² doit etre multiple d’un nombre entier, et b² multiple d’un nombre entier, et la somme de ces multiples doit donné un nombre multiple.
a= 3n
b = 4n
c = 5n

c = racine(9n²+16n²)
c = racine(25n²)
Mouai, je suis pas convaincu par ce que j'ai écris...

[invitef657fe61]

Je n'arrive toujours pas à trouver la solution du 2, 3, 4 du problème auriez vous juste un soupçons de piste? o_O

merci par avance pour vos aides.

[Jeanpaul]

Une piste pour le cas (2) mais les autres sont du même esprit.
Par l'absurde, on imagine que aucun des nombres a et b n'est divisible par 3, donc a congru à 1 ou 2 modulo 3 et idem pour b.
On voit facilement en essayant que a²+b² est congru à 2 modulo 3.
Or un carré genre c² ne peut être congru qu'à 1 ou 0 modulo 3.

[invitef657fe61]

merci énormément jean paul pour ta réponse.

Il n'y qu'un seul soucis : on n'a pas encore vu les congruences...

Je veux bien regarder dans le livre pour les comprendres, mais l'exercice se situ dans le chapitre ( divisibilité dans Z).

De ce fait, je doute que j'ai le droit d'utiliser ta méthode.

Je vais tout de même essayer de comprendre les congruences.

Merci

[invité576543]

Remplace "congruence" par "reste par la division par ...", et cela fera l'affaire...

[invitef657fe61]

bon j'ai déjà compris ce que ma dis jeanPaul en regardant la leçon sur les congruences.

Seulement, je ne vois pas du tout comment on peut montrer que le a congru 1 ou 2 modulo 3. J'ai fait plein de test et en effet sa marche. Mais comment le prouver? O_o

[invitef657fe61]

bonsoir à tous,

je vous demande un dernier coup de pouce ;/
pourquoi peut -on dire que c² est congru par 1 ou 0 modulo 3?

merci pour ceux qui me répondrons ou passerons un peu de temps à y réfléchir.

[invitef657fe61]

dois-je pleurer pour avoir une dernière réponse?

[invite3d7be5ae]

a=0,1,2 mod 3
a^2=0^2,1^2,2^2 mod 3
a^2=0,1,4 mod 3
a^2=0,1 mod 3
Pareil pour b.
c^2=a^2+b^2
c^2=(0,1)+(0,1) mod 3
Trois résultats possibles : 0+0=0 ; (0+1),(1+0)=1,1+1=2.
Il n'y a pas de restrictions possibles mod 3.

[invite3d7be5ae]

Exemples de triplets où c^2 est :
congrue à 0 mod 3 : a=9, b=12, c=15
congrue à 1 mod 3 : 3,4,5.

Je n'ai pas trouvé de triplets où c=2 mod 3.

Je me pose donc des questions.

[invitef657fe61]

si je comprends bien pole ,

tu es parti du principe que a et b sont divisibles par 3 pour montrer que c congru à 0,1 modulo 3 n'est ce pas?

J'ai du mal à suivre là...

de plus, tu indiques que a² congru à 0,1,4 modulo, 3, mais tu élimines le 4 ensuite. est ce à cause de modulo 3?

dernier point brouillard,

tu écris ensuite que tu ne trouve pas de cas ou c congru à 2, mais comment peux tu établir cela de manière général? certe, si en certains cas tu dis que tu n'en trouves , est ce suffisant pour ensuite indiqué qu'il y a au moins 1 nombres, a ,b ou c qui soit divisible par 3?

merci de ton éclaircicement.

[shokin]

seulement je ne vois comment tu as trouvé :
a = x^2 - y^2
b = 2xy
c = x^2 + y^2

shokin, (en plus sa marche :S).
il faudra en faite que je démontre que la relation de pythagore est vérifié si au moins 1 côté est multiple de 3, 4, ou 5.

J'avais lu dans un livre et m'en suis souvenu. Le but des chercheurs ayant été de trouver comment "modéliser" de manière générale les triplets pythagoriciens, à partir de paramètres entiers (x et y) librement choisis.

a^2 + b^2 = c^2

(x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2 = (x^2 + y^2)^2



Démontrer qu'il y au moins un multiple de 3 :

Si x ou y est multiple de 3, b est multiple de 3, b^2 aussi.

Si x et y sont des entiers non multiple de 3, x^2 et y^2 sont de la même classe modulo 3. Autrement dit, x^2 est congruent à y^2 modulo 3. Car le carré d'un nombre non multiple de 3 est dans la classe 1.

En effet : soit m un multiple de 3, m-1 et m+1 ne sont pas multiples de 3. (m-1)^2 = m^2 - 2m + 1, congruent à 1 car m^2 et m sont multiples de 3. Idem pour (m+1)^2.

Donc x^2 et y^2 appartiennent tous deux à la classe 1 modulo 3, donc leur différence appartient à la classe 0 modulo 3, donc (x^2 - y^2) est multiple de 3.

NB : n est congruent à p modulo q si et seulement si (n-p)/q est entier. 7 est donc congruent à 4 modulo 3.
Modulo n, il y a n classes, de la classe 0 à la classe n-1.
Modulo 3, il y a 3 classes :

0 ={...;-3;0;3;...}
1 ={...;-2;1;4;...}
2 ={...;-1;2;5;...}

Essaie alors de tirer parti de la relation de congruence modulo n pour faire de même avec les questions similaires.

Shokin

[invite3d7be5ae]

Voici mes éclaircissements :
4=1 mod 3. Donc modulo 3, a^2=0,1 mod 3.

a=p^2-q^2
b=2*p*q
c=p^2+q^2

Donc a^2+b^2=c^2.

On veut montrer que c^2<>(différent)2 mod 3.
Or, j'ai montrer que ni a^2 ni b^2 sont congruent à 2 modulo 3.
Le seul choix restant est : a^2=1 mod 3 et b^2 aussi.

Cherchons les restes possibles de a mod 2 :
0 : p^2=q^2 mod 3.
1 : p^2-1=q^2 mod 3 donc p^2=1 mod 3 et q^2 à 0 mod 3.
2 : p^2-2=q^2 mod 3 ne peut pas exister : p^2 est forcément congrue à 1 ou 0 mod 3

Seul le cas 1 nous intéressent : au carré, il est congrue à 1 mod 3.

Regardons pour b=2*p*q.
q^2=0 mod 3
q=0 mod 3

Donc 2*p*q=2*p*3*(q/3 [qui est entier]).
Donc b est multiple de 3 ce qui revient à b=0 mod 3.

b^2=0 mod 3
a^2+b^2=1 mod 3
c^2=1 mod 3

Il ne peut pas exister c^2=2 mod 3.

[leg]

Il ne peut pas exister c^2=2 mod 3.

IL NE SUFFIT PAS DE MONTRER SEULEMENT QUE :
C = 0,1,2(3), au carré C, ne peut être que 1 ou 0 modulo 3

[invite3d7be5ae]

J'ai dit que les seuls cas possibles pour avoir c^2=2 mod 3, c'est a^2=1 mod 3 et b^2=1 mod 3. Et j'ai montré que si a^2=1 mod 3, b^2=0 mod 3 et inversement.

Leur somme est donc toujours 0 ou 1 modulo 3.

[shokin]

En effet, le carré d'un entier ne peut pas être congruent à 2 modulo 3.

Imaginons donc alors que a^2, b^2 et c^2 soient tous trois congruent à 1 modulo 3. Ce qui n'est pas possible, car a^2 + b^2 = c^2 .

Donc il y a au moins un des trois carrés qui est congruent à 0 modulo 3. CQFD.

[En passant, il reste les possibiltés : "1"+"0"="1" (et sa commutativité) et "0"+"0"="0".]

Même (ou presque) raisonnement pour modulo 4 et pour modulo 5.

Shokin

[leg]

En effet, le carré d'un entier ne peut pas être congruent à 2 modulo 3.

Donc il y a au moins un des trois carrés qui est congruent à 0 modulo 3. CQFD.

[En passant, il reste les possibiltés : "1"+"0"="1" (et sa commutativité) et "0"+"0"="0".]

c'est ce a quoi je pensais, d'où comme l'a montré pole , on à obligatoirement un côté du triangle rectangle , multiple de trois!

[shokin]

Ouais,

et de manière générale :

(ax+b)^2 est congruent à b^2 modulo x.

Shokin