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Problème avec les complexes



  1. #1
    sandalk

    Problème avec les complexes


    ------

    bonjour j'ai un petit problème, je n'arrive pas à résoudre l'équation suivante dans C :

    z^3= -4-4racinede(3)*i

    Est ce que qqn pourrait m'aider ?



    par ailleurs je dois mettre sous forme trigo le nbre complexe:
    z=e^(i0)+e^(2i0) (0 = téta)

    d'après l'aide je dois mettre e^(i3/2*0) en facteur, mais franchement je ne vois vraiment pas comment faire.

    Qqn aurait-il une idée ?

    merci d'avance

    -----

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  3. #2
    Médiat

    Re : pb avec les complexes

    Citation Envoyé par sandalk Voir le message
    bonjour j'ai un petit problème, je n'arrive pas à résoudre l'équation suivante dans C :

    z^3= -4-4racinede(3)*i
    Il te suffit de mettre -4-4racinede(3)*i sous forme exponentielle.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    indian58

    Re : pb avec les complexes

    Citation Envoyé par sandalk Voir le message
    par ailleurs je dois mettre sous forme trigo le nbre complexe:
    z=e^(i0)+e^(2i0) (0 = téta)

    d'après l'aide je dois mettre e^(i3/2*0) en facteur, mais franchement je ne vois vraiment pas comment faire.
    Mets ce terme en facteur et utilise une formule d'Euler.

  5. #4
    sandalk

    Re : Problème avec les complexes

    voila j'ai mis z^3 sous forme exponentielle :

    z^3 = 8 e^(i4Pi/3)

    comment est ce que je dois continuer ? est ce qu'il faut utiliser la racine cubique ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    sandalk

    Re : pb avec les complexes

    je n'arrive pas a factoriser avec les exponentiels, est ce que vous pourriez me montrer ?

  8. #6
    indian58

    Re : Problème avec les complexes

    exp(ix) + exp(i2x) = exp(3ix/2)*(exp(-ix/2) + exp(ix/2)) = exp(3ix/2)*2*cos(x/2) = 2cos(x/2)exp(3ix/2).

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  10. #7
    sandalk

    Re : pb avec les complexes

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Il te suffit de mettre -4-4racinede(3)*i sous forme exponentielle.


    mnt que j'ai mis -4-4racinede(3)*i sous forme exponentielle :

    z^3 = 8exp(-i*2Pi/3)

    est ce qu'il est possible de résoudre l'équation en utilisant la racine cubique ? càd : z= 2exp(-i*2Pi/9)

    ----------------------------------------------------------------------
    est ce que la forme z=2cos(x/2)[cos(3x/2)+isin(3x/2)] est considérée comme la forme trigo de z ?

  11. #8
    invite34596000666

    Re : pb avec les complexes

    Citation Envoyé par sandalk Voir le message
    est ce qu'il est possible de résoudre l'équation en utilisant la racine cubique ? càd : z= 2exp(-i*2Pi/9)
    Oui. Attention au modulo : il te faut 3 racines.

    Citation Envoyé par sandalk Voir le message
    est ce que la forme z=2cos(x/2)[cos(3x/2)+isin(3x/2)] est considérée comme la forme trigo de z ?
    Oui. z=2cos(x/2) exp(i3x/2) si ton prof rouspète

  12. #9
    sandalk

    Re : pb avec les complexes

    Oui. Attention au modulo : il te faut 3 racines.

    --> comment est ce que je fais pour trouver les 2 autres racines ?

  13. #10
    invite34596000666

    Re : pb avec les complexes

    Citation Envoyé par sandalk Voir le message
    comment est ce que je fais pour trouver les 2 autres racines ?
    Je te laisse chercher un peu, non ?

  14. #11
    invite34596000666

    Re : Problème avec les complexes

    En fait, un nombre complexe peut s'écrire puisqu'un angle est toujours modulo

  15. #12
    sandalk

    Re : Problème avec les complexes

    est ce qu'il suffit que je dise que les 3 racines sont z= 2exp(-i2Pi/9) [2Pi]
    ou je dois chercher les racines ?

    est ce que le conjugué de (2exp(-i2Pi/9)) est une racine ?

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  17. #13
    invite34596000666

    Re : Problème avec les complexes

    Ah non : z= 2exp(-i2Pi/9) [2Pi] c'est toujours un seul et même complexe…

    Comment as-tu trouvé 2Pi/9 en partant du 2Pi/3 qui est dans ton équation ?

    Vu mon message #11, ton équation est en fait z^3 = 8exp(-i*(2Pi/3+2kPi))

  18. #14
    sandalk

    Re : Problème avec les complexes

    si z^3 = 8exp(-i*(2Pi/3+2kPi)) alors z = racine cubique de 8exp(-i*(2Pi/3+2kPi)) soit z = 2 * [exp(-i*(2Pi/3+2kPi)]^(1/3)
    z =2 *exp(1/3*(-i*(2Pi/3+2kPi)))
    z= 2 *exp(-i*(2Pi/9+2kPi))

  19. #15
    invite34596000666

    Re : Problème avec les complexes

    Y a une erreur à la dernière ligne. Relis-toi bien

  20. #16
    sandalk

    Re : Problème avec les complexes

    Citation Envoyé par guerom00 Voir le message
    Y a une erreur à la dernière ligne. Relis-toi bien
    je ne la trouve pas

  21. #17
    invite34596000666

    Re : Problème avec les complexes

    Citation Envoyé par sandalk Voir le message
    z =2 *exp(1/3*(-i*(2Pi/3+2kPi)))
    z= 2 *exp(-i*(2Pi/9+2kPi/3))
    La multiplication est distributive…
    Tes racines ne sont plus module 2Pi mais modulo 2Pi/3. C'est ce qui te donne tes 3 racines différentes.

    Graphiquement, tu traces un cercle de rayon 2. Ta première racine est sur ce cercle, à l'angle -2Pi/9. Les 2 autres racines sont telles qu'elles forment un triangle équilatéral avec cette première racine, inscrit dans le cercle… Si tu vois ce que je veux dire

  22. #18
    sandalk

    Re : Problème avec les complexes

    ah oui ok merci beaucoup

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