Problème avec les complexes

[invitedf04a0e5]

bonjour j'ai un petit problème, je n'arrive pas à résoudre l'équation suivante dans C :

z^3= -4-4racinede(3)*i

Est ce que qqn pourrait m'aider ?



par ailleurs je dois mettre sous forme trigo le nbre complexe:
z=e^(i0)+e^(2i0) (0 = téta)

d'après l'aide je dois mettre e^(i3/2*0) en facteur, mais franchement je ne vois vraiment pas comment faire.

Qqn aurait-il une idée ?

merci d'avance
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[Médiat]

bonjour j'ai un petit problème, je n'arrive pas à résoudre l'équation suivante dans C :

z^3= -4-4racinede(3)*i

Il te suffit de mettre -4-4racinede(3)*i sous forme exponentielle.

[invited5b2473a]

par ailleurs je dois mettre sous forme trigo le nbre complexe:
z=e^(i0)+e^(2i0) (0 = téta)

d'après l'aide je dois mettre e^(i3/2*0) en facteur, mais franchement je ne vois vraiment pas comment faire.

Mets ce terme en facteur et utilise une formule d'Euler.

[invitedf04a0e5]

voila j'ai mis z^3 sous forme exponentielle :

z^3 = 8 e^(i4Pi/3)

comment est ce que je dois continuer ? est ce qu'il faut utiliser la racine cubique ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf04a0e5]

je n'arrive pas a factoriser avec les exponentiels, est ce que vous pourriez me montrer ?

[invited5b2473a]

exp(ix) + exp(i2x) = exp(3ix/2)*(exp(-ix/2) + exp(ix/2)) = exp(3ix/2)*2*cos(x/2) = 2cos(x/2)exp(3ix/2).

[invitedf04a0e5]

Il te suffit de mettre -4-4racinede(3)*i sous forme exponentielle.

mnt que j'ai mis -4-4racinede(3)*i sous forme exponentielle :

z^3 = 8exp(-i*2Pi/3)

est ce qu'il est possible de résoudre l'équation en utilisant la racine cubique ? càd : z= 2exp(-i*2Pi/9)

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est ce que la forme z=2cos(x/2)[cos(3x/2)+isin(3x/2)] est considérée comme la forme trigo de z ?

[invitea774bcd7]

est ce qu'il est possible de résoudre l'équation en utilisant la racine cubique ? càd : z= 2exp(-i*2Pi/9)

Oui. Attention au modulo : il te faut 3 racines.

est ce que la forme z=2cos(x/2)[cos(3x/2)+isin(3x/2)] est considérée comme la forme trigo de z ?

Oui. z=2cos(x/2) exp(i3x/2) si ton prof rouspète

[invitedf04a0e5]

Oui. Attention au modulo : il te faut 3 racines.

--> comment est ce que je fais pour trouver les 2 autres racines ?

[invitea774bcd7]

comment est ce que je fais pour trouver les 2 autres racines ?

Je te laisse chercher un peu, non ?

[invitea774bcd7]

En fait, un nombre complexe peut s'écrire puisqu'un angle est toujours modulo

[invitedf04a0e5]

est ce qu'il suffit que je dise que les 3 racines sont z= 2exp(-i2Pi/9) [2Pi]
ou je dois chercher les racines ?

est ce que le conjugué de (2exp(-i2Pi/9)) est une racine ?

[invitea774bcd7]

Ah non : z= 2exp(-i2Pi/9) [2Pi] c'est toujours un seul et même complexe…

Comment as-tu trouvé 2Pi/9 en partant du 2Pi/3 qui est dans ton équation ?

Vu mon message #11, ton équation est en fait z^3 = 8exp(-i*(2Pi/3+2kPi))

[invitedf04a0e5]

si z^3 = 8exp(-i*(2Pi/3+2kPi)) alors z = racine cubique de 8exp(-i*(2Pi/3+2kPi)) soit z = 2 * [exp(-i*(2Pi/3+2kPi)]^(1/3)
z =2 *exp(1/3*(-i*(2Pi/3+2kPi)))
z= 2 *exp(-i*(2Pi/9+2kPi))

[invitea774bcd7]

Y a une erreur à la dernière ligne. Relis-toi bien

[invitedf04a0e5]

Y a une erreur à la dernière ligne. Relis-toi bien

je ne la trouve pas

[invitea774bcd7]

z =2 *exp(1/3*(-i*(2Pi/3+2kPi)))
z= 2 *exp(-i*(2Pi/9+2kPi/3))

La multiplication est distributive…
Tes racines ne sont plus module 2Pi mais modulo 2Pi/3. C'est ce qui te donne tes 3 racines différentes.

Graphiquement, tu traces un cercle de rayon 2. Ta première racine est sur ce cercle, à l'angle -2Pi/9. Les 2 autres racines sont telles qu'elles forment un triangle équilatéral avec cette première racine, inscrit dans le cercle… Si tu vois ce que je veux dire

[invitedf04a0e5]

ah oui ok merci beaucoup