Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 6 sur 6

Séries entières



  1. #1
    bibi441

    Unhappy Séries entières


    ------

    Bonjour à tous,

    Quelqu'un pourrait-il m'aider à résoudre l'exercice suivant qui me pose quelques petits problèmes:

    Soit (an)nЄN la suite définie par a0=1 et pour tout n ≥ 1,

    (1) an+1 = ∑ ap.aq (la somme des p+q=n)

    = ∑ ap.an-p (la somme allant de p=0 à n)

    On veut montrer que pour tout n≥1, an = (4^n/n+1)C(2n en bas et n en haut)

    Posons f(z)= ∑ an.z^n (la somme des n≥0)

    a) Grâce à la relation (1), montrer que

    xf(x)²-f(x)+1 = 0

    b) En déduire que f(x) = (1-√(1-4x))/2x

    c) Trouver le développement en série entière de f et son rayon de convergence.

    d) Conclure

    Merci d'avance à tous ceux qui pourront me venir en aide.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Ledescat

    Re : Séries entières

    Bonsoir.

    Regarde ce que vaut f(z)² par produit de Cauchy de sa série entière .
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    Ledescat

    Re : Séries entières

    Je viens de faire cet exercice plutôt intéressant, et il me semble qu'il y a une erreur d'énoncé.

    On devrait plutôt montrer il me semble

    En tout cas, quelques tests des coefficients du développement de Taylor sur Maple me l'ont confirmé.
    Cogito ergo sum.

  5. #4
    bibi441

    Re : Séries entières

    Oui merci j'étais justement en train de le faire qd tu me l'a suggéré!
    Et donc je trouve que f(x)²=a_n+1.
    D'ou xf(x)²=a_n+1.x^n+1.
    C'est ça non ?

    Mais après je suis bloqué!

    Peut-tu encore un peu m'aider?

  6. #5
    Ledescat

    Re : Séries entières

    Citation Envoyé par bibi441 Voir le message
    Oui merci j'étais justement en train de le faire qd tu me l'a suggéré!
    Et donc je trouve que f(x)²=a_n+1.
    D'ou xf(x)²=a_n+1.x^n+1.
    Il manque des sigma là dedans.

    N'oublie pas que les coeff d'un produit de Cauchy sont eux même des sommes:




    Quand tu auras fait la a), la b) est juste une résolution d'équation, et pour la c) il faut développer f en série entière (c'est le plus long à mon avis).
    Cogito ergo sum.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    bibi441

    Re : Séries entières

    Merci beaucoup, j'ai enfin réussi à trouver les deux premières questions!

  9. Publicité

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. séries entières
    Par alexlecobra dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 21/11/2007, 19h12
  2. séries entières
    Par paaat dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 22/01/2007, 21h32
  3. Séries entières.
    Par nassoufa_02 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 13
    Dernier message: 15/11/2006, 21h05
  4. séries entières et formelles
    Par christophe_de_Berlin dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 14
    Dernier message: 19/01/2006, 10h08
  5. series entieres
    Par r-one dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 20
    Dernier message: 02/05/2005, 17h01