Séries entières

[invite77e8d643]

Bonjour à tous,

Quelqu'un pourrait-il m'aider à résoudre l'exercice suivant qui me pose quelques petits problèmes:

Soit (an)nЄN la suite définie par a0=1 et pour tout n ≥ 1,

(1) an+1 = ∑ ap.aq (la somme des p+q=n)

= ∑ ap.an-p (la somme allant de p=0 à n)

On veut montrer que pour tout n≥1, an = (4^n/n+1)C(2n en bas et n en haut)

Posons f(z)= ∑ an.z^n (la somme des n≥0)

a) Grâce à la relation (1), montrer que

xf(x)²-f(x)+1 = 0

b) En déduire que f(x) = (1-√(1-4x))/2x

c) Trouver le développement en série entière de f et son rayon de convergence.

d) Conclure

Merci d'avance à tous ceux qui pourront me venir en aide.
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[invitec053041c]

Bonsoir.

Regarde ce que vaut f(z)² par produit de Cauchy de sa série entière .

[invitec053041c]

Je viens de faire cet exercice plutôt intéressant, et il me semble qu'il y a une erreur d'énoncé.

On devrait plutôt montrer il me semble

En tout cas, quelques tests des coefficients du développement de Taylor sur Maple me l'ont confirmé.

[invite77e8d643]

Oui merci j'étais justement en train de le faire qd tu me l'a suggéré!
Et donc je trouve que f(x)²=a_n+1.
D'ou xf(x)²=a_n+1.x^n+1.
C'est ça non ?

Mais après je suis bloqué!

Peut-tu encore un peu m'aider?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Oui merci j'étais justement en train de le faire qd tu me l'a suggéré!
Et donc je trouve que f(x)²=a_n+1.
D'ou xf(x)²=a_n+1.x^n+1.

Il manque des sigma là dedans.

N'oublie pas que les coeff d'un produit de Cauchy sont eux même des sommes:




Quand tu auras fait la a), la b) est juste une résolution d'équation, et pour la c) il faut développer f en série entière (c'est le plus long à mon avis).

[invite77e8d643]

Merci beaucoup, j'ai enfin réussi à trouver les deux premières questions!