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somme de carrés



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    somme de carrés


    ------

    Bonjour,

    ben j´ai une lacune, je sais que la somme de carrés de 1 à N est n(n+1)(2n+1), mais tout d´un coup je me suis demandé comment on peut prouver le truc, et j´ai pas d´idée... (à par par réccurence évidement). Quelqu´un peut-il m´aider?

    Merci d´avance


    Christophe

    -----

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  3. #2
    christophe_de_Berlin

    Re : somme de carrés

    euh pardon, le tout divisé par 6 évidement...

  4. #3
    DSCH

    Re : somme de carrés

    Une façon de faire est de considérer l'expression
    (à calculer de deux façons différentes). Technique généralisable aux degrés supérieurs…
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  5. #4
    Ledescat

    Re : somme de carrés

    Bon , comme ce soir je suis gentil, je vais te développer l'idée de DSCH .





    Peut en effet se voir de 2 façons.

    1ère façon, le téléscopage:


    (les termes se simplifient 2 à 2 régulièrement, sauf le premier(=0) et le dernier(=(n+1)^3).


    2ème façon de voir:

    Donc:



    Et en faisant l'égalité des 2 manières de voir, on obtient:



    Et en divisant par 3 et en arrangeant la forme, on trouve heureusement n(n+1)(2n+1)/6.

    Tu remarqueras au passage que cette méthode nécéssite la connaissance des sommes des k,k^2,...,k^(p-1) pour connaître la somme des k^p. Mais au moins, on sait qu'on peut les trouver (en se retroussant les manches).


    François
    Cogito ergo sum.

  6. #5
    indian58

    Re : somme de carrés

    Ou sinon ça se représentre géométriquement avec des cubes.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    MMu

    Re : somme de carrés

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Tu remarqueras au passage que cette méthode nécéssite la connaissance des sommes des k,k^2,...,k^(p-1) pour connaître la somme des k^p.
    Mais au moins, on sait qu'on peut les trouver (en se retroussant les manches).
    François
    On peut aussi y aller directement, à la hache , sachant que , où est un polynôme de degré .
    Calculant directement les premières valeurs on déduit ensuite ensuite les coefficients de .
    Dernière modification par MMu ; 07/11/2007 à 22h04.

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  10. #7
    MMu

    Re : somme de carrés

    Citation Envoyé par MMu Voir le message
    ... ...
    Désolé, erreur de rédaction, il s'agit biensur de Si le modérateur le permettait je pourrais corriger l'original, annuler celui-ci, et éviter la multiplication de messages

  11. #8
    christophe_de_Berlin

    Re : somme de carrés

    bon ben merci, c´est l´explication qui me manquait.

    Christophe

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