somme de carrés

[invitee75a2d43]

Bonjour,

ben j´ai une lacune, je sais que la somme de carrés de 1 à N est n(n+1)(2n+1), mais tout d´un coup je me suis demandé comment on peut prouver le truc, et j´ai pas d´idée... (à par par réccurence évidement). Quelqu´un peut-il m´aider?

Merci d´avance


Christophe
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[invitee75a2d43]

euh pardon, le tout divisé par 6 évidement...

[invite03f2c9c5]

Une façon de faire est de considérer l'expression

(à calculer de deux façons différentes). Technique généralisable aux degrés supérieurs…

[invitec053041c]

Bon , comme ce soir je suis gentil, je vais te développer l'idée de DSCH .





Peut en effet se voir de 2 façons.

1ère façon, le téléscopage:


(les termes se simplifient 2 à 2 régulièrement, sauf le premier(=0) et le dernier(=(n+1)^3).


2ème façon de voir:

Donc:



Et en faisant l'égalité des 2 manières de voir, on obtient:



Et en divisant par 3 et en arrangeant la forme, on trouve heureusement n(n+1)(2n+1)/6.

Tu remarqueras au passage que cette méthode nécéssite la connaissance des sommes des k,k^2,...,k^(p-1) pour connaître la somme des k^p. Mais au moins, on sait qu'on peut les trouver (en se retroussant les manches).


François

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

Ou sinon ça se représentre géométriquement avec des cubes.

[invite3240c37d]

Tu remarqueras au passage que cette méthode nécéssite la connaissance des sommes des k,k^2,...,k^(p-1) pour connaître la somme des k^p.
Mais au moins, on sait qu'on peut les trouver (en se retroussant les manches).
François

On peut aussi y aller directement, à la hache , sachant que , où est un polynôme de degré .
Calculant directement les premières valeurs on déduit ensuite ensuite les coefficients de .

[invite3240c37d]

... ...

Désolé, erreur de rédaction, il s'agit biensur de Si le modérateur le permettait je pourrais corriger l'original, annuler celui-ci, et éviter la multiplication de messages

[invitee75a2d43]

bon ben merci, c´est l´explication qui me manquait.

Christophe