2007 en somme de deux carrés

[invite975d9f0f]

salut
moi j'ai essayer de décomposer 2007 en somme de carrés et j'ai pas reussi
alors

2007/9= 223
223= 10²+10²+ 4²+2² racine de 3 au ²
9= 3²+0²

9*223 = (3²+0²)*(10²+10²+4²+2²)
que fairee ensuite
-----

[invité576543]

2007/9= 223

Recommence sur 223: il vaut 1 modulo 3, ça amène à

3(n²+m²) + 2m = 74

A ce stade il suffit de tout essayer, m<5 et m=1 modulo 3, il n'y a pas grand chose à tester...

Cordialement,

[leg]

salut
moi j'ai essayer de décomposer 2007 en somme de carrés et j'ai pas reussi
alors

2007/9= 223
223= 10²+10²+ 4²+2² racine de 3 au ²
9= 3²+0²

9*223 = (3²+0²)*(10²+10²+4²+2²)
que fairee ensuite

****************************** ***
223=1²+1²+10²+11²
9*(1²+1²+10²+11²)

[Médiat]

L'énoncé (sauf le titre) ne donnant aucune contrainte, la solution suivante est valide :

2007 = 1² + 1² ... + 1² + 1²

(2007 fois 1²)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Au passage il y a contradiction entre le corps du message #1 et le titre du fil. J'ai considéré dans ma réponse le problème posé par le titre, l'autre étant sans intérêt.

Cordialement,

[Médiat]

Au passage il y a contradiction entre le corps du message #1 et le titre du fil. J'ai considéré dans ma réponse le problème posé par le titre, l'autre étant sans intérêt.

Je suis d'accord que l'autre est sans intérêt, mais le premier est impossible,
La bonne question est peut-être somme de 3 carrés, mais d'après un théorème Fermat c'est impossible pour les nombres de la forme 8k + 7 (ce qui est le cas de 2007),
Il reste à résoudre avec 4 carrés, et la réponse de leg est une solution, mais il y en a d'autres : 223 = 13² + 7² + 2² + 1²

[invité576543]

Je suis d'accord que l'autre est sans intérêt, mais le premier est impossible,

Je sais bien. C'est la conclusion aisée du calcul indiqué dans le message #2

Il reste à résoudre avec 4 carrés

Même pas, une solution à 4 carrés est, à une étape triviale près, dans le premier message.

Je n'ai osé pensé que c'était cette étape qui manquait, et ai préféré l'interprétation que l'initiateur du fil cherchait un moyen de passer de 4 carrés à deux carrés...

Cordialement,

[Médiat]

Même pas, une solution à 4 carrés est, à une étape triviale près, dans le premier message.

Je ne vois pas ce que tu veux dire car

9*223 = (3²+0²)*(10²+10²+4²+2²)

est faux 10²+10²+4²+2² = 220.

Il est exact qu'avec 4 carrés il y a de nombreuses solutions.

Le vrai intérêt était de montrer que ceci est impossible à moins de 4 carrés.

[invité576543]

est faux 10²+10²+4²+2² = 220.

Arghh... Je n'avais même pas pris la peine de vérifier!

Le vrai intérêt était de montrer que ceci est impossible à moins de 4 carrés.

Pour 2, c'est bien du niveau "collège et lycée".

Tu évoques une règle générale pour 3, la démonstration en est-celle simple, i.e., du niveau requis pour ce forum?

Cordialement,

[Médiat]

Tu évoques une règle générale pour 3, la démonstration en est-celle simple, i.e., du niveau requis pour ce forum?

hyper simple :

Pout tout entier n, n² est congru à 0, 1 ou 4 (il suffit de faire le calcul), une somme de 3 de ces nombres ne peut donner que (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) (très facile à vérifier) donc impossible de faire 7.

[invitec053041c]

A noter que le principal intéressé du topic n'en a que faire .

[invitec053041c]

hyper simple :

Pout tout entier n, n² est congru à 0, 1 ou 4

modulo quoi?
Car si c'est modulo 10, tu as 0,1,4,9,6,5, et 5+1+1=7
Mais tu ne parlais peut-être pas modulo 10, et dans ce cas je ne vois pas.

Sinon comment montre-t-on facilement qu'un nombre n'est pas la somme de deux carrés ?

[Médiat]

modulo quoi?

Ooops, j'ai oublié de le rappeler :

c'est impossible pour les nombres de la forme 8k + 7

C'est donc modulo 8

[invitec053041c]

Ah d'accord, au temps pour moi alors...
Sinon,comment montrer rapidement que 2007 n'est pas une somme de deux carrés ?
J'ai fait 4 études de cas, et montré que toutes amenaient à avoir 2007=17[20], mais bon 4 études de cas c'est peut-être beaucoup pour un excercice qui est sensé être "niveau collège,lycée" .

[invité576543]

Sinon comment montre-t-on facilement qu'un nombre n'est pas la somme de deux carrés ?

J'ai l'impression que la méthode de descente modulo 3 esquissée dans le message #2 doit pouvoir se généraliser et s'automatiser.

C'est juste une piste... Il y a sûrement mieux et plus simple...

Cordialement,

[Médiat]

Ah d'accord, au temps pour moi alors...
Sinon,comment montrer rapidement que 2007 n'est pas une somme de deux carrés ?

Tu peux prendre la même démonstration, la somme de 2 carrés ne peut être que congru à (0, 1, 2, 4, 5) modulo 8 cqfd.

Mais l'étude modulo 4 marche très bien
n modulo 4 --> (0,1, 2 ,3)
n² modulo 4 --> (0,1)
La somme de 2 carrés ne peut être congru qu'à 0, 1 ou 2 modulo 4 or 2007 congru à 3 modulo 4

[invité576543]

Ca fait des cribles particuliers, qui ne laissent pas passer certains nombres, dont 2007.

Mais si on veut un test général?

Cordialement,

[invite975d9f0f]

en fait je voulais écrire 2007 sous la forme de somme de carré
donc 2007 =9*223
9= 3²+0²; 223= 10²+10²+4²+2²+(racine de 3)
peut - on r montré que le produit de ppar 223 est une une somme de 2 carrée

[invite975d9f0f]

jevous priez de m'excuser d'avoir pas donner des précisions

[invitec053041c]

223=3[4], et d'après le remarque de mediat, il n'est pas la somme de deux carrés.

[invitec053041c]

Pour la somme de 3 carrés,d'après la remarque comme quoi: n² modulo 4 --> (0,1)
Comme 223=3[4], il faut que a²=b²=c²=1[4]
Donc (a,b,c) appartient à {1,3}
Et là ça fait un nombre trop grand de vérifications...C'est faisable mais bon, je ne pense pas que ce soit le but recherché.

[invitec053041c]

Et là ça fait un nombre trop grand de vérifications...

Enfin trop grand...il y en a 4 si je compte bien
(1,1,1)(1,1,3)(1,3,3)(3,3,3)

[invitec053041c]

J'ai fait une une étude de cas succinte, et je pense que 223 n'est pas non plus la somme de 3 carrés.
Je crois que je vais m'arrêter là .

[invité576543]

Médiat a déjà donné la réponse pour 3 carrés, en prenant modulo 8.

Cordialement,

[invitec053041c]

Médiat a déjà donné la réponse pour 3 carrés, en prenant modulo 8.

Cordialement,

Ah ben oui en effet, on est juste descendu d'un cran avec le 9, et je ne vois pas comment il aurait pu en être autrement .
Merci mmy.

[leg]

223=3[4], et d'après le remarque de mediat, il n'est pas la somme de deux carrés.

c'est un nombre premier P donc au minimum, il y aurra 1² + x² = 223
tous les nombres p qui sont somme de deux carrés de cette forme, sont vite triés:
17;37,101,197,257,401... =1(4)

donc ce qui donne p/4 = x,25 au premier coup

[invitec418c418]

Un nombre est somme de 2 carrés si et seulement si chacun de facteurs premiers ,dans sa décomposition en afcteurs premiers, de la forme 4k + 3 a un exposant pair.

Un nombre n est somme de 3 carrés si et seulement si il n'est pas de la forme

[invité576543]

Un nombre est somme de 2 carrés si et seulement si chacun de facteurs premiers ,dans sa décomposition en facteurs premiers, de la forme 4k + 3 a un exposant pair.

Un nombre n est somme de 3 carrés si et seulement si il n'est pas de la forme

Voilà qui répond clairement aux questions!

A-t-on des méthodes constructives pour les deux cas?

Cordialement,

[invitec053041c]

Voilà qui répond clairement aux questions!

A-t-on des méthodes constructives pour les deux cas?

Il faut passer par IZ[i].
Va donc faire un tour là mmy : http://mpsiddl.free.fr/pdf/pbsup/pb029.pdf

Cordialement.

[invitec418c418]

Voilà qui répond clairement aux questions!

A-t-on des méthodes constructives pour les deux cas?

Cordialement,

Pour le 1er cas, on peut s'aider de l'identité de Lagrange :



en décomposant au préalable en facteurs premiers le nombre auquel on veut chercher sa somme de carrés.