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2007 en somme de deux carrés



  1. #1
    scholasticus

    Question 2007 en somme de deux carrés


    ------

    salut
    moi j'ai essayer de décomposer 2007 en somme de carrés et j'ai pas reussi
    alors

    2007/9= 223
    223= 10²+10²+ 4²+2² racine de 3 au ²
    9= 3²+0²

    9*223 = (3²+0²)*(10²+10²+4²+2²)
    que fairee ensuite

    -----

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  3. #2
    invité576543
    Invité

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    Citation Envoyé par scholasticus Voir le message
    2007/9= 223
    Recommence sur 223: il vaut 1 modulo 3, ça amène à

    3(n²+m²) + 2m = 74

    A ce stade il suffit de tout essayer, m<5 et m=1 modulo 3, il n'y a pas grand chose à tester...

    Cordialement,

  4. #3
    leg

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    Citation Envoyé par scholasticus Voir le message
    salut
    moi j'ai essayer de décomposer 2007 en somme de carrés et j'ai pas reussi
    alors

    2007/9= 223
    223= 10²+10²+ 4²+2² racine de 3 au ²
    9= 3²+0²

    9*223 = (3²+0²)*(10²+10²+4²+2²)
    que fairee ensuite
    ****************************** ***
    223=1²+1²+10²+11²
    9*(1²+1²+10²+11²)

  5. #4
    Médiat

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    L'énoncé (sauf le titre) ne donnant aucune contrainte, la solution suivante est valide :

    2007 = 1² + 1² ... + 1² + 1²

    (2007 fois 1²)
    Dernière modification par Médiat ; 19/07/2007 à 12h21.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invité576543
    Invité

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    Au passage il y a contradiction entre le corps du message #1 et le titre du fil. J'ai considéré dans ma réponse le problème posé par le titre, l'autre étant sans intérêt.

    Cordialement,

  8. #6
    Médiat

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Au passage il y a contradiction entre le corps du message #1 et le titre du fil. J'ai considéré dans ma réponse le problème posé par le titre, l'autre étant sans intérêt.
    Je suis d'accord que l'autre est sans intérêt, mais le premier est impossible,
    La bonne question est peut-être somme de 3 carrés, mais d'après un théorème Fermat c'est impossible pour les nombres de la forme 8k + 7 (ce qui est le cas de 2007),
    Il reste à résoudre avec 4 carrés, et la réponse de leg est une solution, mais il y en a d'autres : 223 = 13² + 7² + 2² + 1²
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  10. #7
    invité576543
    Invité

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Je suis d'accord que l'autre est sans intérêt, mais le premier est impossible,
    Je sais bien. C'est la conclusion aisée du calcul indiqué dans le message #2

    Il reste à résoudre avec 4 carrés
    Même pas, une solution à 4 carrés est, à une étape triviale près, dans le premier message.

    Je n'ai osé pensé que c'était cette étape qui manquait, et ai préféré l'interprétation que l'initiateur du fil cherchait un moyen de passer de 4 carrés à deux carrés...

    Cordialement,

  11. #8
    Médiat

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Même pas, une solution à 4 carrés est, à une étape triviale près, dans le premier message.
    Je ne vois pas ce que tu veux dire car
    9*223 = (3²+0²)*(10²+10²+4²+2²)
    est faux 10²+10²+4²+2² = 220.

    Il est exact qu'avec 4 carrés il y a de nombreuses solutions.

    Le vrai intérêt était de montrer que ceci est impossible à moins de 4 carrés.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    invité576543
    Invité

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    est faux 10²+10²+4²+2² = 220.
    Arghh... Je n'avais même pas pris la peine de vérifier!

    Le vrai intérêt était de montrer que ceci est impossible à moins de 4 carrés.
    Pour 2, c'est bien du niveau "collège et lycée".

    Tu évoques une règle générale pour 3, la démonstration en est-celle simple, i.e., du niveau requis pour ce forum?

    Cordialement,

  13. #10
    Médiat

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Tu évoques une règle générale pour 3, la démonstration en est-celle simple, i.e., du niveau requis pour ce forum?
    hyper simple :

    Pout tout entier n, n² est congru à 0, 1 ou 4 (il suffit de faire le calcul), une somme de 3 de ces nombres ne peut donner que (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) (très facile à vérifier) donc impossible de faire 7.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    Ledescat

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    A noter que le principal intéressé du topic n'en a que faire .
    Cogito ergo sum.

  15. #12
    Ledescat

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    hyper simple :

    Pout tout entier n, n² est congru à 0, 1 ou 4
    modulo quoi?
    Car si c'est modulo 10, tu as 0,1,4,9,6,5, et 5+1+1=7
    Mais tu ne parlais peut-être pas modulo 10, et dans ce cas je ne vois pas.

    Sinon comment montre-t-on facilement qu'un nombre n'est pas la somme de deux carrés ?
    Cogito ergo sum.

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  17. #13
    Médiat

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    modulo quoi?
    Ooops, j'ai oublié de le rappeler :

    c'est impossible pour les nombres de la forme 8k + 7
    C'est donc modulo 8
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #14
    Ledescat

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    Ah d'accord, au temps pour moi alors...
    Sinon,comment montrer rapidement que 2007 n'est pas une somme de deux carrés ?
    J'ai fait 4 études de cas, et montré que toutes amenaient à avoir 2007=17[20], mais bon 4 études de cas c'est peut-être beaucoup pour un excercice qui est sensé être "niveau collège,lycée" .
    Cogito ergo sum.

  19. #15
    invité576543
    Invité

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Sinon comment montre-t-on facilement qu'un nombre n'est pas la somme de deux carrés ?
    J'ai l'impression que la méthode de descente modulo 3 esquissée dans le message #2 doit pouvoir se généraliser et s'automatiser.

    C'est juste une piste... Il y a sûrement mieux et plus simple...

    Cordialement,

  20. #16
    Médiat

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Ah d'accord, au temps pour moi alors...
    Sinon,comment montrer rapidement que 2007 n'est pas une somme de deux carrés ?
    Tu peux prendre la même démonstration, la somme de 2 carrés ne peut être que congru à (0, 1, 2, 4, 5) modulo 8 cqfd.

    Mais l'étude modulo 4 marche très bien
    n modulo 4 --> (0,1, 2 ,3)
    n² modulo 4 --> (0,1)
    La somme de 2 carrés ne peut être congru qu'à 0, 1 ou 2 modulo 4 or 2007 congru à 3 modulo 4
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  21. #17
    invité576543
    Invité

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    Ca fait des cribles particuliers, qui ne laissent pas passer certains nombres, dont 2007.

    Mais si on veut un test général?

    Cordialement,

  22. #18
    scholasticus

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    en fait je voulais écrire 2007 sous la forme de somme de carré
    donc 2007 =9*223
    9= 3²+0²; 223= 10²+10²+4²+2²+(racine de 3)
    peut - on r montré que le produit de ppar 223 est une une somme de 2 carrée

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  24. #19
    scholasticus

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    jevous priez de m'excuser d'avoir pas donner des précisions

  25. #20
    Ledescat

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    223=3[4], et d'après le remarque de mediat, il n'est pas la somme de deux carrés.
    Cogito ergo sum.

  26. #21
    Ledescat

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    Pour la somme de 3 carrés,d'après la remarque comme quoi: n² modulo 4 --> (0,1)
    Comme 223=3[4], il faut que a²=b²=c²=1[4]
    Donc (a,b,c) appartient à {1,3}
    Et là ça fait un nombre trop grand de vérifications...C'est faisable mais bon, je ne pense pas que ce soit le but recherché.
    Cogito ergo sum.

  27. #22
    Ledescat

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Et là ça fait un nombre trop grand de vérifications...
    Enfin trop grand...il y en a 4 si je compte bien
    (1,1,1)(1,1,3)(1,3,3)(3,3,3)
    Cogito ergo sum.

  28. #23
    Ledescat

    Re : 2007 en somme de deux carrés

    J'ai fait une une étude de cas succinte, et je pense que 223 n'est pas non plus la somme de 3 carrés.
    Je crois que je vais m'arrêter là .
    Cogito ergo sum.

  29. #24
    invité576543
    Invité

    Re : 2007 en somme de deux carrés

    Médiat a déjà donné la réponse pour 3 carrés, en prenant modulo 8.

    Cordialement,

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  31. #25
    Ledescat

    Re : 2007 en somme de deux carrés

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Médiat a déjà donné la réponse pour 3 carrés, en prenant modulo 8.

    Cordialement,
    Ah ben oui en effet, on est juste descendu d'un cran avec le 9, et je ne vois pas comment il aurait pu en être autrement .
    Merci mmy.
    Cogito ergo sum.

  32. #26
    leg

    Re : 200 7 en somme de deux carrés

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    223=3[4], et d'après le remarque de mediat, il n'est pas la somme de deux carrés.
    c'est un nombre premier P donc au minimum, il y aurra 1² + x² = 223
    tous les nombres p qui sont somme de deux carrés de cette forme, sont vite triés:
    17;37,101,197,257,401... =1(4)

    donc ce qui donne p/4 = x,25 au premier coup

  33. #27
    Guillaume.B

    Re : 2007 en somme de deux carrés

    Un nombre est somme de 2 carrés si et seulement si chacun de facteurs premiers ,dans sa décomposition en afcteurs premiers, de la forme 4k + 3 a un exposant pair.

    Un nombre n est somme de 3 carrés si et seulement si il n'est pas de la forme

  34. #28
    invité576543
    Invité

    Re : 2007 en somme de deux carrés

    Citation Envoyé par Guillaume.B Voir le message
    Un nombre est somme de 2 carrés si et seulement si chacun de facteurs premiers ,dans sa décomposition en facteurs premiers, de la forme 4k + 3 a un exposant pair.

    Un nombre n est somme de 3 carrés si et seulement si il n'est pas de la forme
    Voilà qui répond clairement aux questions!

    A-t-on des méthodes constructives pour les deux cas?

    Cordialement,

  35. #29
    Ledescat

    Re : 2007 en somme de deux carrés

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Voilà qui répond clairement aux questions!

    A-t-on des méthodes constructives pour les deux cas?
    Il faut passer par IZ[i].
    Va donc faire un tour là mmy : http://mpsiddl.free.fr/pdf/pbsup/pb029.pdf

    Cordialement.
    Cogito ergo sum.

  36. #30
    Guillaume.B

    Re : 2007 en somme de deux carrés

    Voilà qui répond clairement aux questions!

    A-t-on des méthodes constructives pour les deux cas?

    Cordialement,
    Pour le 1er cas, on peut s'aider de l'identité de Lagrange :



    en décomposant au préalable en facteurs premiers le nombre auquel on veut chercher sa somme de carrés.

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