Détermination d'une limite

**cypher_2** · 11/08/2007, 15h50

Bonjour tout le monde, voila j'ai besoin de votre aide pour déterminer une limite quand $x \rightarrow 0$

La fonction est la suivante : $f(x) = \frac{1 - cos(x)}{x^2}$

En voyant qu'après plusieurs essais pour déterminer cette limite je bloquais complètement j'ai décidé de regarder le corrigé qui lui m'a encore plus embrouillé.

Il indique qu'il faut utiliser la dérivation : $f (x) = \frac {1-cos(x)}{x^2} = \frac{cos(0)-cos(x)}{x^2-0^2}= (\frac{cos(0) - cos(x)}{x-0})(\frac{x-0}{x^2-0^2})$ <----- forme n°1

Jusqu'ici je comprends, mais ensuite : $f(x)=\frac{cos(x)' x \rightarrow 0}{x^2' x \rightarrow 0 }= \frac {-sin (x)}{x^2} ] x \rightarrow 0$ <---- forme n°2 et 3
Ensuite le calcul continue, la correction trouve à la fin $\frac{-1}{2}$ alors que par lecture graphique je trouve $\frac{1}{2}$

Donc cette partie je ne comprends vraiment pas si quelqu'un pouvait m'expliquer comment on passe de la forme 1 à la forme 2/3 ?

Merci.

Publicité · Aujourd'hui

**cypher_2** · 11/08/2007, 16h09

C'est bon j'ai compris.

**FonKy-** · 11/08/2007, 16h12

Je vais y reflechir lol =) en tout cas le calcul est faux

**cypher_2** · 11/08/2007, 16h26

Enfait à partir de la forme $f(x)=(\frac{cos(0)-cos(x)}{x-0} )(\frac {x-0}{x^2-0})$ on peut dire que quand $x \rightarrow 0$ alors $cos(0) - cos(x) = 0$ donc on se retrouve avec $f(x) = \frac {x- 0}{x^3}$ Or, $0 = sin (0)$ donc on peut dire que quand $x \rightarrow 0 \ f(x) =\frac { x - sin(x)}{x^3} = \frac {-sin(x)}{x^2}$ Et donc on peut continuer en disant que toujours quand $x \rightarrow 0 -sin(0) = sin(0) = 0$ Donc quand $x \rightarrow 0 \ f(x) = \frac{sin(x)}{x^2}$

C'est ça non pour le début du raisonnement ?

EDIT: enfait non ... toujours pas bon

**FonKy-** · 11/08/2007, 16h33

Envoyé par cypher_2

Enfait à partir de la forme $f(x)=(\frac{cos(0)-cos(x)}{x-0} )(\frac {x-0}{x^2-0})$ on peut dire que quand $x \rightarrow 0$ alors $cos(0) - cos(x) = 0$ donc on se retrouve avec $f(x) = \frac {x- 0}{x^3}$ Or, $0 = sin (0)$ donc on peut dire que quand $x \rightarrow 0 \ f(x) =\frac { x - sin(x)}{x^3} = \frac {-sin(x)}{x^2}$ Et donc on peut continuer en disant que toujours quand $x \rightarrow 0 -sin(0) = sin(0) = 0$ Donc quand $x \rightarrow 0 \ f(x) = \frac{sin(x)}{x^2}$

C'est ça non pour le début du raisonnement ?

non lol c archi faux

c une limite que tu calcule, vu que cosx-cos0 vaut 0 ca ferait 0 mais en fait t'as plutot une forme indéterminée, puis sinx/x² a la meme limite que 1/x qui vaut plus linfini en 0

FonKy-

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**FonKy-** · 11/08/2007, 16h36

Mais j'avais poster un truc au début mais c'était archi faux, je suis sur le Q la

Tellement habitué a utiliser les DL que j'en sais plus faire les rtuc de premieres:
moi j'avais fait: en limite tendant vers 0
$(1-cosx)/x^2 = -(1/x ) (cosx-cos0/x-0)= -(1/x) cos'x = sinx /x$
et le pire c'est que je vois pas lerreur car la la limite donne 1 alors qu'elle donne tres clairement 1/2

FonKy-

Publicité · Aujourd'hui

**FonKy-** · 11/08/2007, 16h43

Envoyé par cypher_2

Bonjour tout le monde, voila j'ai besoin de votre aide pour déterminer une limite quand $x \rightarrow 0$

La fonction est la suivante : $f(x) = \frac{1 - cos(x)}{x^2}$

En voyant qu'après plusieurs essais pour déterminer cette limite je bloquais complètement j'ai décidé de regarder le corrigé qui lui m'a encore plus embrouillé.

Il indique qu'il faut utiliser la dérivation : $f (x) = \frac {1-cos(x)}{x^2} = \frac{cos(0)-cos(x)}{x^2-0^2}= (\frac{cos(0) - cos(x)}{x-0})(\frac{x-0}{x^2-0^2})$ <----- forme n°1

Jusqu'ici je comprends, mais ensuite : $f(x)=\frac{cos(x)' x \rightarrow 0}{x^2' x \rightarrow 0 }= \frac {-sin (x)}{x^2} ] x \rightarrow 0$ <---- forme n°2 et 3
Ensuite le calcul continue, la correction trouve à la fin $\frac{-1}{2}$ alors que par lecture graphique je trouve $\frac{1}{2}$

Donc cette partie je ne comprends vraiment pas si quelqu'un pouvait m'expliquer comment on passe de la forme 1 à la forme 2/3 ?

Merci.

En fait:
$f(x) = \frac{1 - cos(x)}{x^2}=\frac{cos(0)-cos(x)}{x^2-0^2}= -(\frac{cos(x) - cos(0)}{x-0})(\frac{1}{\frac{x^2-0^2}{x-0}})=-\frac{cos'x}{(x^2)'}=\frac{sin x}{2x}=1/2$

je pense que tu connais la derniere étape sinon on a deja fait un post sur le forum

FonKy-

**Ledescat** · 11/08/2007, 16h44

Moi j'ai une méthode plus simple pour déterminer cette limite.

Bon ,la limite de sinx/x en 0 est de 1 (cela se montre par un taux d'accroissement car cos(0)=1)

$cos(x)=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)=1-2sin^2(x/2)$
D'où:
$1-cos(x)=2sin^2(x/2)\\\fr{1-cos(x)}{x^2}=\fr{2sin^2(x/2)}{x^2}\\=\fr{1}{2}.(\fr{sin( x/2)}{x/2})^2$

Ce qu'il y a dans la parenthèse tend vers 1, en posant X=x/2 si on veut.
Donc le tout tend bien vers 1/2.

François

**cypher_2** · 11/08/2007, 16h52

Euh, je comprends pas ce que signifie $cos'x$ ni $(x^2)'$ .
Je n'ai jamais vu cette notation ... d'où sort-il dans ce calcul ...

Merci de vos réponses mais je nage toujours

**Ledescat** · 11/08/2007, 16h52

Je viens de parler à Fonky qui estime que c'est un peu trop compliqué (bon

), alors je précise un peu pour l'identité remarquable que j'ai utilisée:

$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$
En prenant b=a
$cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(b)$
Et en posant a=A/2
$cos(A)=cos^2(A/2)-sin^2(A/2)$

Et comme cos²(x)+sin²(x)=1, on déduit ma formule 1-cos(x)=2sin²(x/2)

Bref, c'était juste pour poster une autre méthode, après à chacun sa chacune

.

**FonKy-** · 11/08/2007, 16h58

Envoyé par cypher_2

Euh, je comprends pas ce que signifie $cos'x$ ni $(x^2)'$ .
Je n'ai jamais vu cette notation ... d'où sort-il dans ce calcul ...

Merci de vos réponses mais je nage toujours

Et bien ce sont les dérivés des fonctions:
x->cosx et x->x²

car cos'(0) = lim (x->0) (cos(x)-cos(0))/(x-0)

et (x²)' en 0 vaut =lim (x->0) (x²-0)/(x-0) = lim (x->0) x = 0
et on a bien (x²)'=2x qui vaut 0 en 0

c magique

Edit: c'est du cours ca !! c'est ptetpour ca que t'a pas compris la méthode de ton prof, et on s'en rend mieux compte dans ton post avec le sinx/x^3 ^^

FonKy-

**cypher_2** · 11/08/2007, 17h17

Envoyé par FonKy-

Edit: c'est du cours ca !!

Du cours de 1ère non ? Je rentre en 1ère que l'année prochaine

( enfin en Septembre )

En tout cas merci pour vos réponse à tout les deux.

Publicité · Aujourd'hui

**eteto** · 11/08/2007, 18h03

moi j'arrive pas à déterminer la limite de sin(x) / 2x quand x ->0 c'est pas indéterminable ?

Comment faites-vous ?

merci

eteto

**Ledescat** · 11/08/2007, 18h21

$\lim_{x\rightarrow 0} \fr{sin(x)}{2x}=\fr{1}{2}\lim_ {x\rightarrow 0} \fr{sin(x)}{x}=\fr{1}{2}\lim_{ x\rightarrow 0} \fr{sin(x)-sin(0)}{x-0}=\fr{sin'(0)}{2}=\fr{1}{2}$

François

**Le_Ced** · 12/08/2007, 03h51

Envoyé par FonKy-

En fait:
$f(x) = \frac{1 - cos(x)}{x^2}=\frac{cos(0)-cos(x)}{x^2-0^2}= -(\frac{cos(x) - cos(0)}{x-0})(\frac{1}{\frac{x^2-0^2}{x-0}})=-\frac{cos'x}{(x^2)'}=\frac{sin x}{2x}=1/2$

Ca serait pas utiliser les équivalents sans le dire tout ça ?

Ce qui expliquerait pourquoi cypher_2 ne comprends pas.
En tout cas, s'il faut retirer une leçon de cet exercice, c'est que l'on ne remercira jamais assez celui qui a eu l'idée d'introduire les DL, parce que la en 1/4 de ligne c'est plié !

**Médiat** · 12/08/2007, 08h23

Envoyé par Le_Ced

En tout cas, s'il faut retirer une leçon de cet exercice, c'est que l'on ne remercira jamais assez celui qui a eu l'idée d'introduire les DL, parce que la en 1/4 de ligne c'est plié !

Ou ce brave marquis de l'Hôpital.
Par contre on ne doit pas remercier ce fil pour les horreurs que je viens d'y lire, par exemple :

$-(\frac{cos(x) - cos(0)}{x-0})\,=\,-cos'x\,=\,sin(x)$
et
$\frac{x^2-0^2}{x-0}\,=\,(x^2)'\,=\,2x$

A tout hasard
$-(\frac{cos(x) - cos(0)}{x-0})\,= -\frac{cos(x)\,-\,1}{x}$ et c'est tout
et
$\frac{x^2-0^2}{x-0}\,=\,x$ ce qui devrait être évident, non ?

Personnellement, en tant qu'ex-prof de maths, une copie dans laquelle je vois $\frac{x^2}{x}\,=\,2x$ risque de tendre vers 0. Ah ben tiens, c'est justement ce qu'il manque.

**FonKy-** · 12/08/2007, 14h35

Envoyé par Médiat

Ou ce brave marquis de l'Hôpital.
Par contre on ne doit pas remercier ce fil pour les horreurs que je viens d'y lire, par exemple :

$-(\frac{cos(x) - cos(0)}{x-0})\,=\,-cos'x\,=\,sin(x)$
et
$\frac{x^2-0^2}{x-0}\,=\,(x^2)'\,=\,2x$

A tout hasard
$-(\frac{cos(x) - cos(0)}{x-0})\,= -\frac{cos(x)\,-\,1}{x}$ et c'est tout
et
$\frac{x^2-0^2}{x-0}\,=\,x$ ce qui devrait être évident, non ?

Personnellement, en tant qu'ex-prof de maths, une copie dans laquelle je vois $\frac{x^2}{x}\,=\,2x$ risque de tendre vers 0. Ah ben tiens, c'est justement ce qu'il manque.

non mais ce sont des limites en x->0

**Ledescat** · 12/08/2007, 16h03

Envoyé par Médiat

Par contre on ne doit pas remercier ce fil pour les horreurs que je viens d'y lire

Oui mais bon faut éviter de généraliser...

Publicité · Aujourd'hui

**Médiat** · 12/08/2007, 17h46

Envoyé par FonKy-

non mais ce sont des limites en x->0

N'empêche que x²/x = 2x est faux, et c'est pourtant bien écrit, non ? Essaye de ré-écrire cela correctement, pour voir les différences.

**Médiat** · 12/08/2007, 17h49

Envoyé par Ledescat

Oui mais bon faut éviter de généraliser...

Parce que j'ai généralisé ?
Est-ce que j'ai écrit : "Par contre on ne doit pas remercier ce fil pour les horreurs que je viens d'y lire" qui est une vérité factuelle vérifiable, ou est-ce que j'ai écrit "Par contre on ne doit pas remercier ce fil parce que je n'y lis que des horreurs" qui serait effectivement une généralisation abusive ?

**Ledescat** · 12/08/2007, 17h53

Envoyé par Médiat

Parce que j'ai généralisé ?
Est-ce que j'ai écrit : "Par contre on ne doit pas remercier ce fil pour les horreurs que je viens d'y lire" qui est une vérité factuelle vérifiable, ou est-ce que j'ai écrit "Par contre on ne doit pas remercier ce fil parce que je n'y lis que des horreurs" qui serait effectivement une généralisation abusive ?

Oui bien-sûr, mais c'est parcequeje n'étais pas sûr d'avoir bien compris où tu voulais en venir

.

**Médiat** · 12/08/2007, 18h38

Envoyé par Ledescat

Oui bien-sûr, mais c'est parcequeje n'étais pas sûr d'avoir bien compris où tu voulais en venir

.

Allez, je me dévoile : je voudrais savoir (par pure perversion) si les erreurs que j'ai relevées (et donc tu n'étais pas visé, au contraire) n'en cachent pas d'autres, mais je n'en dis pas plus pour l'instant

.

**FonKy-** · 12/08/2007, 23h32

Mais c'était trivial que c'était des limites tendant vers 0, je l'avais meme précisé plus haut

en limite tendant vers 0

j'ai du mal a comprendre ce manque de sympathie la Mediat, et il vaut mieux poster des erreurs que des messages inutiles qui n'aident en rien alors qu'on demande justement d'etre corrigé. Puis j'ai écrit comme ca car je n'avais guere le temps, puis ce n'était que dans la lignée du poste principal qui peut s'avérer incomprehensible a partir de la forme 2 ..

FonKy-

**Médiat** · 12/08/2007, 23h42

Envoyé par FonKy-

Mais c'était trivial que c'était des limites tendant vers 0, je l'avais meme précisé plus haut

Oui, mais cela ne permet pas de lever toutes les ambiguités de ta façon d'écrire, qui est donc fautive, je te propose de ré-écrire ton texte avec des limites bien placées, et je ne doute pas que tou trouveras les erreurs qui se cachent sous les erreurs

Envoyé par FonKy-

j'ai du mal a comprendre ce manque de sympathie la Mediat, et il vaut mieux poster des erreurs que des messages inutiles qui n'aident en rien alors qu'on demande justement d'etre corrigé.

Je ne vois pas de quelle manque de sympathie tu parles, quant à te corriger, c'est exactement ce que je fais en te signalant des erreurs, te donner la correction immédiatement ne serait pas très formateur. Maintenant si tu veux que je n'interviennent plus sur tes posts quand tu ecris des erreurs, tu n'as qu'à le dire, cela ne me pose aucun problème.
Dans quel autre but que de te faire progresser et de ne pas induire en erreur tes lecteurs, penses-tu que je poste ? Pour prouver qu'après avoir fait de la recherche en maths et avoir enseigner plus de 20 ans je suis encore capable de corriger un exercice de 1ère ou de terminal ?

Publicité · Aujourd'hui

**FonKy-** · 13/08/2007, 01h36

$\lim_{x \rightarrow 0} (1-cosx)/x^2 = -\lim_{x \rightarrow 0}(1/x ). \lim_{x \rightarrow 0}(cosx-cos0/x-0)= -\lim_{x \rightarrow 0}(1/x) \lim_{x \rightarrow 0}cos'x = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{sinx} {x}$

Mais ca c'écrit meme pas ce que j'écris, comment tu veux faire ?? looool
En tout cas son corrigé utilise cette méthode.

$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - cos(x)}{x^2}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{cos(0)-cos(x)}{x^2-0^2}= -\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{cos(x) - cos(0)}{x-0})\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1}{\frac{x^2-0^2}{x-0}})=-\lim_{x \rightarrow 0}\frac{cos'x}{(x^2)'}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sinx}{2x}=1/2$

Je dirai meme plus qu'un calcul de limite ca s'écrit pas :/ >< enfin du moins on n'écrit pas en partie. Mais bon je l'écris quand meme comme ca était demandé

Puis de toute facon ce post m'enerve un peu, il est pil poil entre 2 niveau, c'est à dire celui qui veut faire un exo qui n'est pas de son niveau, qui n'a pas vu le cours correspondant, ce qui est d'ailleurs souvent le cas sur ce forum, au lieu de faire des exo de son niveau mais a un niveau difficile , ils preferent pour une certaine partie faire des exos qui ne sont pas de leur niveau .. pourquoi ? je ne sais pas mais je trouve ce comportement débile .. a mon avis il veulent trop bien faire .. s'avancer sur l'année prochaine, pourquoi ? ben je sais pas ..
Sinon la seconde catégorie sont les boulets dans mon genre qui dépassent théoriquement le cours en question mais qui bloquent sur le calcul détaillé en se servant des formules de premieres ><

Voilà

FonKy-

**Médiat** · 13/08/2007, 05h35

Envoyé par FonKy-

$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - cos(x)}{x^2}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{cos(0)-cos(x)}{x^2-0^2}= -\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{cos(x) - cos(0)}{x-0})\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1}{\frac{x^2-0^2}{x-0}})=-\lim_{x \rightarrow 0}\frac{cos'x}{(x^2)'}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sinx}{2x}=1/2$

Maintenant je peux t'expliquer ce qui me choque :
$-\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{cos(x) - cos(0)}{x-0})\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1}{\frac{x^2-0^2}{x-0}})=-\lim_{x \rightarrow 0}\frac{cos'x}{(x^2)'}$
parce que pour moi :
$-\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{cos(x) - cos(0)}{x-0})\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1}{\frac{x^2-0^2}{x-0}})=-\fr{cos'(x)_{[x = 0]}}{(x^2)_{[x=0]}'} \,=\, \fr{0}{0}$
Si tu appliques le calcul de la limite à
$\lim_{x \rightarrow 0}(\frac{cos(x) - cos(0)}{x-0})$
tu trouves la dérivée en 0, pas en x.

Comme ta première ligne donne 1 comme réponse, et la deuxième donne 1/2, il doit bien y avoir un problème quelque part, non ?

Envoyé par FonKy-

Je dirai meme plus qu'un calcul de limite ca s'écrit pas

**FonKy-** · 13/08/2007, 13h01

Ok merci, mais ca a pourtant l'air la méthode qu'utilise son corrigé :/
Mais je pensais que vu qu'on retombe sous une FI on peut se permettre de rester en limite, car on peut toujours dire $x_{[x=0]} =\lim_{ x \rightarrow 0}{x}$ non ?
Personnellement dans une copie j'aurai jamais ecrit tout ca mais bon .. :X
Par ne s'écrit pas j'enteds que dans ma vie de scientifique je me souviens pas avoir marqué une seule fois lim.... x lim ...... =)

FonKy-

**martini_bird** · 13/08/2007, 13h07

Salut,

un truc à retenir : on utilise jamais le symbole $\lim$ avant de s'être assuré que la limite existe (donc finie !).

Même quand $f(x)=x$ , la limite de f en 0 n'existe pas forcément (bon d'accord, c'est vraiment tiré par les cheveux, mais c'est par exemple le cas si l'espace d'arrivée est $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ ).

Cordialement.

**Médiat** · 13/08/2007, 13h12

Envoyé par FonKy-

on peut toujours dire $x_{[x=0]} =\lim_{ x \rightarrow 0}{x}$ non ?

Le problème c'est que
$x_{[x=0]} =\lim_{ x \rightarrow 0}{5x}$ ,
c'est à dire qu'en remplaçant un nombre par la limite d'une fonction qui tend vers ce nombre, tu peux démontrer n'importe quoi (du genre 1 = 2)

**FonKy-** · 13/08/2007, 14h15

Envoyé par martini_bird

Salut,

un truc à retenir : on utilise jamais le symbole $\lim$ avant de s'être assuré que la limite existe (donc finie !).

Même quand $f(x)=x$ , la limite de f en 0 n'existe pas forcément (bon d'accord, c'est vraiment tiré par les cheveux, mais c'est par exemple le cas si l'espace d'arrivée est $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ ).

Cordialement.

en quelle année ? lol on écrit bien $\lim_{x \rightarrow +\infty}x =+\infty$ , j'ai aps du comprendre ce que tu voulais dire martini :/

Envoyé par Médiat

Le problème c'est que
$x_{[x=0]} =\lim_{ x \rightarrow 0}{5x}$ ,
c'est à dire qu'en remplaçant un nombre par la limite d'une fonction qui tend vers ce nombre, tu peux démontrer n'importe quoi (du genre 1 = 2)

oui je suis tout à fait d'acccord mais la en l'occurence on le fait car il s'agit strictement de la meme expression.

Mais sinon vous proposeriez quoi comme correction ?

FonKy-

Détermination d'une limite

Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Re : Détermination d'une limite

Discussions similaires

Critères de détermination d'une RP

Détermination d'une HMT

Détermination d'une parabole

Limite d'une racine carré et suite d'une fonction

Determination d'une parabole