calcul matriciel

[le fouineur]

Bonjour à tous,

je sollicite votre aide pour le problème suivant:


soient: et

Existe t'il une matrice B telle que: B*C=A ?

Que faut t'il poser pour démarrer l'exo?

Merci d'avance pour vos réponses Cordialement le fouineur
-----

[Bruno]

Bonjour,

On te donne A, on te donne C et on te demande de chercher B tel que B*C = A

<=> B = A.C^-1

Il suffit donc de chercher l'inverse de la matrice C et puis d'effectuer le produit matriciel.

[le fouineur]

Bonjour Bruno et merci pour ta réponse rapide,

Ta méthode est correcte pour déterminer une matrice B qui satisfait l'égalité.
Mais le problème ici est de trouver la forme générale d'une famille de matrices qui satisfont toutes l'egalité.Il faut déterminer la forme générale de B en fonction de a,b et c qui sont les variables dans la troisième colonne de B.

Je dispose pour ce problème du résultat final mais d'aucune démonstration qui permette d'y arriver....

Cordialement le fouineur

[le fouineur]

Je viens de m'apercevoir de plus que C est une matrice singulière donc non inversible.On ne peut donc pas procéder comme tu as proposé....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Le post de Bruno est tout à fait exact et donne l'_unique_ B qui marche *dans le cas où C est inversible*.

Ici, puisque C n'est pas inversible, c'est plus délicat. Tu veux BC = A.
A quelle(s) condition(s) un tel B peut exister ?
- Ker C doit être inclus dans Ker(A). (Si Cx = 0, BCx = 0)
- D'autres ? En fait, non.

Pourquoi peut-il y avoir plusieurs B ? Simplement parce que B n'a besoin d'être prescrit que sur l'image de C, pas ailleurs. Et si C est singulière, Im(C) est de dimension strictement plus petite que la taille de C, donc on gagne au moins un degré de liberté.

__
rvz

[le fouineur]

Bonjour rvz et merci pour ta réponse,


Pourrais-tu (si tu en a le temps),démarrer les calculs qui permettent de déterminer B.Je suis curieux de voir la solution....

Cordialement le fouineur

[invite6b1e2c2e]

Très vite,

Ker C = vect( (3, 1, 5)*) = Ker(A) (je mets l'étoile pour dire transpose, ok ?)
ImC = Vect( e1 = (1, 2, -5)*, e2 =(2,-1,0)*), donc on veut
Be1 = (-2, 8,4) *
Be2 = (1,1, 3)*

Et il faut une dernière équation pour déterminer B. Prends e3 = (1,0,0)*. Alors e1, e2, e3 forment une base de R^3, et tu peux choisir Be3 à ta convenance. (Be3 est un vecteur, donc cela fait trois paramètres rééls que tu peux choisir à ta convenance...).

Il suffit alors de se ramener dans la base canonique pour obtenir la matrice B.

__
rvz