Connexité

[invite694f6e61]

Bonjour à tous!
Dans mon cours d'analyse on nous définit un ensemble connexe X par:
Si à chaque fois que X=AUB avec A et B ouverts alors l'un est vide et l'autre est égal à X tout entier.
Sinon il y a une condition semblable avec A et B fermés.
Le problème c'est qu'un ouvert ne contient que des points intérieurs, et un fermé l'intérieur avec les bords. Une réunion d'ouverts étant un ouvert, comment faire si X contient des point frontières (pas tous nécessairement)? Un ensemble connexe est un ensemble en un morceau: donc si X est ouvert, on voit immédiatement que le premier critère est vérifié, mais qu'en est-il du 2e critère équivalent?
Merci d'avance, car on n'a pas encore abordé ce point en topologie....
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[invite986312212]

la notion de frontière est relative à une partie d'un espace topologique. X en tant qu'espace topologique n'a pas de "points frontière"

[invite694f6e61]

Donc c'est pour cela que l'on que l'on a:
Les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés de X sont X lui même et l’ensemble vide.
Mais lorsque l'on prend par exemple une fonction sur un connexe X C (R^2), l'espace topologique ce ne serait pas R^2? X peut-avoir alors des points frontières, ou alors je mélange tout...

[invite35452583]

Donc c'est pour cela que l'on que l'on a:
Les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés de X sont X lui même et l’ensemble vide.
Mais lorsque l'on prend par exemple une fonction sur un connexe X C (R^2), l'espace topologique ce ne serait pas R^2? X peut-avoir alors des points frontières, ou alors je mélange tout...

Un peu mais c'est normal au début.
Prenons par exemple un disque fermé X={x du plan vectoriel euclidien ; llxll<=1} alors l'espace X dans R² est fermé mais n'est pas ouvert. Mais dans la définition de la connexité X est l'espace lui-même donc on prend un scalpel et on retire de R² tout ce qui n'et pas X. X dans X est fermé et ouvert comme n'importe quel espace topologique. Dans X X n'a pas de points frontières contrairement à X dans R².
Les notions de fermé, ouvert, frontière sont des notions extrinsèques (elles dépendent de l'espace dans lequel on se place).
Les espaces ci-dessus sont tous munis de leur topologie usuelle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite694f6e61]

Ah d'accord, tout s'explique donc... Merci beaucoup pour vos réponses rapides et claires!