Sous variété et connexité

[invite423aa977]

Bonsoir à tous!

Je requiers votre aide pour montrer le résultat suivant:

Une sous-variété (M de de classe et de dimension ) connexe par arcs est connexe.

En cherchant à droite, à gauche j'ai trouvé qu'il fallait montrer que


= | de dans M (continu) telle que
est connexe, ainsi on aura d'ou le résultat.

Donc, il faut montrer que est:
1. Non vide
2. Ouvert
3. Fermé

Comme vous pouvez le constater je sèche sur 2. et 3.

L'une des remarques que je peux vous faire c'est que je ne sais absolument pas comment utiliser le fait que M est une sous variété.

Merci d'avance.

Cordialement, Calintzz
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[indian58]

Bonsoir à tous!

Je requiers votre aide pour montrer le résultat suivant:

Une sous-variété (M de de classe et de dimension ) connexe par arcs est connexe.

En cherchant à droite, à gauche j'ai trouvé qu'il fallait montrer que


= | de dans M (continu) telle que
est connexe, ainsi on aura d'ou le résultat.

Donc, il faut montrer que est:
1. Non vide
2. Ouvert
3. Fermé

Comme vous pouvez le constater je sèche sur 2. et 3.

L'une des remarques que je peux vous faire c'est que je ne sais absolument pas comment utiliser le fait que M est une sous variété.

Merci d'avance.

Cordialement, Calintzz

Le fait que M soit une sous-variété ne sert à rien car tu peux montrer que d'une manière générale connexité ar arcs => connexité.

[invite35452583]

Comme le rapelle Indian58 connexité par arcs=> connexe.
Un résultat plus intéressant est : une sous-variété (M de de classe et de dimension ) connexe est connexe par arcs. (ce qui est simplement du à la locale connexité par arcs des variétés).

[invite423aa977]

Oh excusez moi, c'est évidement connexe implique connexe par arcs qu'il faut montrer. (en fait c'est si et seulement si mais l'autre sens est, en effet, tout le temps vrai....)

Comprenez vous "mieux" pourquoi je considère les ensembles et tout le reste?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite423aa977]

Un petit up, parce que mon problème reste entier. Je prefère faire ça que de recréer un topic pour qu'on s'intéresse a mon problème que j'avais mal formulé (à mon grand regret).

Merci

[invite35452583]

Pour ouvert, il suffit de montrer que tous les points d'un voisinage d'un point de est dans mais ceci est une conséquence que localement M est homéomorphe à R^d (on trace le chemin dans R^d qu'on envoie ensuite dans le voisinage dans M).
Pour fermé, la relation xRy "il existe f : [0,1]->M continue telle que f(0)=x et f(1)=y" est une relation d'équivalence est immédiat. M est donc décomposé en les classes d'équivalence pour cette relation. Or, d'après 2, chacune d'elles est ouverte donc l'union de toutes sauf une est ouverte et son complémentaire (une unique classe d'équivalence) est fermé.

[G13]

Soit M un point de V, O l'ensemble des points de V joignable par un arc à M.
Soit U l'ensemble des points de V non joignable à M par un arc.
O est non vide car il contient M.
Soit N dans O, il existe un arc partant de M et se terminant en N.
De plus comme localement V est homeomorphe à une boule ouverte de R^d donc localement connexe par arc.
Donc il existe un voisinage W de N connexe par arcs. Donc tout point de W peut etre joint à N, donc en rajoutant l'arc MN, tout point de W peut etre joint à M.
Do W inclus dans O, donc O est un voisinage de chacun de ses point donc ouvert.

De meme U est ouvert.

Or V est connexe donc comme O non vide, U est vide et tout point de V peut etre joint à M, donc V est connexe par arcs.