Depuis un moment, je réapprofondis mes bases en géométrie différentielle, notamment avec le bouquin Introduction to smooth manifolds de John Lee. Ma question porte sur la notion de sous-variété plongée.
Tout d'abord, le pré-requis :
Définition Dans un espace euclidien, un sous-ensemble
est une
-tranche de
si tout point de
est de coordonnées
où les
sont des constantes.
Définition Soitune variété différentiable. Un sous-ensemble
est une sous-variété plongée de dimension
si pour tout point
, il existe une carte
pour
autour de
telle que
est une
-tranche de
.
Ma question porte sur le théorème suivant.
Théorème Soitune sous-variété plongée de dimension
. Muni de la topologie induite,
admet une unique structure différentiable telle que
est un plongement.
C'est juste une question de compréhension. Que dit ce théorème :
- ss-var. plongée ET topo. induite => plongement unique ?
- ss-var. ET topo. induite => plongement unique => ss-var. plongée ?
Normalement, une ss-var. plongée doit être munie de la topo. induite, donc la 1ère affirmation n'a pas de sens (car elle n'interdit pas une ss-var plongée d'avoir une autre topo.). Et pourtant, il me semble que c'est ce que dit le théorème ...
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