[Géom diff] Sous-variété plongée

[Sephi]

Depuis un moment, je réapprofondis mes bases en géométrie différentielle, notamment avec le bouquin Introduction to smooth manifolds de John Lee. Ma question porte sur la notion de sous-variété plongée.

Tout d'abord, le pré-requis :

Définition Dans un espace euclidien , un sous-ensemble est une -tranche de si tout point de est de coordonnées où les sont des constantes.

Définition Soit une variété différentiable. Un sous-ensemble est une sous-variété plongée de dimension si pour tout point , il existe une carte pour autour de telle que est une -tranche de .

Ma question porte sur le théorème suivant.

Théorème Soit une sous-variété plongée de dimension . Muni de la topologie induite, admet une unique structure différentiable telle que est un plongement.

C'est juste une question de compréhension. Que dit ce théorème :
- ss-var. plongée ET topo. induite => plongement unique ?
- ss-var. ET topo. induite => plongement unique => ss-var. plongée ?

Normalement, une ss-var. plongée doit être munie de la topo. induite, donc la 1ère affirmation n'a pas de sens (car elle n'interdit pas une ss-var plongée d'avoir une autre topo.). Et pourtant, il me semble que c'est ce que dit le théorème ...
-----

[martini_bird]

Salut,

Normalement, une ss-var. plongée doit être munie de la topo. induite, donc la 1ère affirmation n'a pas de sens (car elle n'interdit pas une ss-var plongée d'avoir une autre topo.). Et pourtant, il me semble que c'est ce que dit le théorème ...

Il y a peut-être une remarque un peu plus loin qui précise qu'une sous-variété plongée ne peut être munie d'une autre topologie que la topologie induite?

Perso, j'ai compris qu'étant donnée l'inclusion , si elle se factorise localement par , i.e. si le diagramme



commute, et si S est muni de la topologie induite, alors il existe une seule structure différentiable telle que l'inclusion soit un plongement.

Cordialement.