Bonjour à tous,
À chaque fois que je retombe dessus, j'ai de nouveau du mal à me l'imaginer. Il s'agit encore et toujours du fameux théorème de la boule chevelue, mais je souhaiterais l'aborder sans argument de topologie algébrique.
Dans un exercice, j'ai dû calculer le fibré tangentà la sphère
en partant de l'atlas stéréographique sur
. J'ai ensuite calculé l'application de changement de carte sur
qui est :
oùet
sont les 2 projections stéréographiques de l'atlas pour
. La matrice de
est la matrice jacobienne de
. Lorsqu'on évalue cette application le long de l'équateur (pour un point
où
est la coordonnée polaire de
dans le plan équatorial), on obtient :
Ainsi, tout vecteur tangent localisé endans la carte
se transforme en un vecteur tangent dans la carte
à l'aide de cette matrice. On voit que quand
avance (i.e. quand
augmente), l'image d'un vecteur a tendance à "tourner", dans l'espace tangent en
, autour de l'origine. Quand
a fait un tour complet, l'image d'un vecteur a fait 2 rotations complètes dans l'espace tangent.
Question : comment interpréter cela ? Je crois qu'il s'agit là d'observer comment 2 champs de vecteurs écrits danset
se "recollent" au niveau de l'équateur, et on voit qu'ils le font moyennant 2 "retournements".
Est-ce que c'est juste ?
Comment en déduire qu'il n'existe pas de champ de vecteurs partout non-nul sur?
•••
Autant j'arrive à le visualiser avec le ruban de Moëbius, autant quand il s'agit ici de 4 dimensions, je pète les plombs ! Or je n'aime pas travailler dans l'abstraction totale
Pour ceux qui ont déjà croisé cette question l'an dernier, soyez indulgents![]()
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