[Géom diff] Encore TS² !

[Sephi]

Bonjour à tous,

À chaque fois que je retombe dessus, j'ai de nouveau du mal à me l'imaginer. Il s'agit encore et toujours du fameux théorème de la boule chevelue, mais je souhaiterais l'aborder sans argument de topologie algébrique.

Dans un exercice, j'ai dû calculer le fibré tangent à la sphère en partant de l'atlas stéréographique sur . J'ai ensuite calculé l'application de changement de carte sur qui est :

où et sont les 2 projections stéréographiques de l'atlas pour . La matrice de est la matrice jacobienne de . Lorsqu'on évalue cette application le long de l'équateur (pour un point où est la coordonnée polaire de dans le plan équatorial), on obtient :

Ainsi, tout vecteur tangent localisé en dans la carte se transforme en un vecteur tangent dans la carte à l'aide de cette matrice. On voit que quand avance (i.e. quand augmente), l'image d'un vecteur a tendance à "tourner", dans l'espace tangent en , autour de l'origine. Quand a fait un tour complet, l'image d'un vecteur a fait 2 rotations complètes dans l'espace tangent.



Question : comment interpréter cela ? Je crois qu'il s'agit là d'observer comment 2 champs de vecteurs écrits dans et se "recollent" au niveau de l'équateur, et on voit qu'ils le font moyennant 2 "retournements".

Est-ce que c'est juste ?

Comment en déduire qu'il n'existe pas de champ de vecteurs partout non-nul sur ?

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Autant j'arrive à le visualiser avec le ruban de Moëbius, autant quand il s'agit ici de 4 dimensions, je pète les plombs ! Or je n'aime pas travailler dans l'abstraction totale

Pour ceux qui ont déjà croisé cette question l'an dernier, soyez indulgents
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[Sephi]

Petite erreur, en fait la matrice est :

[Sephi]

Petite erreur, en fait la matrice est :

Dernier ajout :

La 2e matrice est celle d'une rotation d'angle dans le sens horaire.



Ah oui, et quand je parle de "vecteurs qui tournent", en fait je parle plutôt des vecteurs de base de l'espace tangent.

Donc, ce changement de coordonnées envoie une base (dans ) sur une base (dans ) en faisant tourner la base dans tout en inversant un des axes.

[Sephi]

Bon bon on récapitule tout (parce que c'est tout embrouillé ci-haut).

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1/ J'ai TS² muni d'un atlas à 2 cartes, héritées des 2 cartes de la projection stéréographique de S².

2/ J'ai l'application de changement de cartes de TS² pour les vecteurs tangents, dont la matrice est :

3/ À partir de ces éléments, comment montrer qu'il n'existe pas de champ de vecteurs partout non nul sur S² ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

Question : comment interpréter cela ? Je crois qu'il s'agit là d'observer comment 2 champs de vecteurs écrits dans et se "recollent" au niveau de l'équateur, et on voit qu'ils le font moyennant 2 "retournements".

Tu as décrit l'indice du champ de vecteur le long de l'équateur.

En fait, si un champ de vecteur est non singulier sur un disque, alors l'indice de ce champ le long du bord du disque est nul.

Je te propose une idée: comme l'hémisphère nord et l'hémisphère sud sont tous les deux homéomorphes au disque, il faudrait envoyer le champ de vecteurs (supposé non-singulier) sur un des hémisphère en champ de vecteurs non singulier sur le disque unité: ce dernier serait toujours "centrifuge" ou toujours "centripète". On aurait alors une contradiction, puisqu'un champ "entrant" ou "sortant" n'est pas d'indice nul.

Cordialement.