[Géom diff]Submersion

[invitef591ed4b]

Me revoilà avec ma géom. diff.

Soit une application . Soit .

Proposition La différentielle de en est surjection si et seulement si .

Pourquoi ?
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[invitedf667161]

Il doit y avoir un problème, je ne crois pas que ce soit vrai en général. Par contre si f est à valeurs réelles c'est bon. Simplement parce que pour être surjective il suffit qu'elle soit non nulle puisque R est de dimension 1.

[invitef591ed4b]

Ha oui, il me semblait bien qu'il y avait un hic.

Dans le cas d'une fonction réelle, plus précisément, tu veux dire que comme df_p est linéaire et qu'elle est définie sur l'espace tangent en p (qui est linéaire aussi), il suffit qu'elle soit non-nulle pour un vecteur, pour qu'elle soit surjective ?

[invitedf667161]

Bin oui.

N'oublie pas df_p est simplement une application linéiare de R^m dans R^n où m est la dimension de M et n la dimension de N.

Il suffit que N soit de dimension 1 pour que la différentielle soit surjective dès qu'elle est non nulle puisqu'elle est alors de rang au moins 1.

[A voir en vidéo sur Futura]