La grassmannienne est l'ensemble des sous-espaces de dimension dans . C'est une variété différentiable lorsqu'on la munit d'un atlas approprié.

Un espace projectif réel peut être vu comme une variété différentiable en le voyant comme la grassmannienne et en utilisant le même atlas.

Ma question porte sur un espace projectif complexe . Pour le voir comme une variété différentiable, suffit-il de l'assimiler à une grassmannienne ou bien faut-il d'abord repasser par une formulation en termes d'espace vectoriel réel (càd considérer que ) ?