[Géom Diff] Fibré trivial

[Sephi]

Bonjour,

Comment peut-on montrer que le le fibré tangent à la sphère n'est pas un fibré trivial ?

Je sais que

(1)

implique que

est un fibré non-trivial (2)

Néanmoins, comment montrer que (1) est vrai, dans le cas de ?
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[martini_bird]

Salut,

si mes souvenirs sont bons, il faut utiliser la caractéristique d'Euler-Poincaré.

http://www.mathcurve.com/surfaces/eu...poincare.shtml

Cordialement.

[Sylvestre]

Salut,

ce n'est pas un résultat trivial et il y a beaucoup de manières de le démontrer suivant les connaissances que l'on a.
Je vais donner dans les grandes lignes la démonstrations du fait que toute section s: S^2-> TS^2 du fibré tangent de la sphère S^2 admet un point p tel que s(p)=0.

Soient N et S, les pôles nord et sud. Soit , le cercle de latitude . On suppose, par l'absurde qu'il existe une section s ne s'annulant jamais. On peut alors supposer que chacune des images s(p) est un vecteur de longueur 1 dans l'espace tangent à S^2 en p. L'idée est de considérer le "nombre d'enroulement" de la section sur chacun des cercles . Il s'agit de regarder combien de tour fait le vecteur s(p) lorsque p parcoure tout le cercle (je peux expliquer plus en détails comment définir ce nombre, mais c'est un bon exercice de le trouver soit même). Il s'agit d'un nombre entier. Il faut maintenant voir ce qu'il vaut près de N et de S. Tout proche d'un point, s est presque constant. Donc lorsque l'on tourne sur un cercle, on a l'impression que le vecteur s(p) fait un tour de cercle entier. Le nombre d'enroulement est donc 1 ou -1, selon que l'on regarde d'en haut ou d'en bas. L'important n'est pas que cela soit 1 ou -1, mais c'est que si l'on choisit une des deux possibilités, alors cela sera l'autre lorsque que l'on sera sur l'autre pôle. Ainsi , le nombre d'enroulement doit changer de 1 à -1 lorsque t parcoure l'intervalle . Ce qui ne peut se faire que si s s'annule.

Je suis sûr que ces expliquations ne sont pas suffisantes, car je ne crois pas avoir été très clair. Toutefois, j'espère qu'il est possible de reconstruire la vraie démonstration à partir du charabia ci-dessus.

A bientôt

Sylvestre

[Sephi]

Ainsi , le nombre d'enroulement doit changer de 1 à -1 lorsque t parcoure l'intervalle . Ce qui ne peut se faire que si s s'annule.

Peux-tu expliquer un peu + ceci, car je boîte un peu ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sylvestre]

Ainsi , le nombre d'enroulement doit changer de 1 à -1 lorsque t parcoure l'intervalle . Ce qui ne peut se faire que si s s'annule.

Ce qui est important est de savoir calculer le nombre d'enroulement pour un très petit cercle centré sur N. Soit V, un petit ouvert de S^2 contenant N et notre petit cercle, ainsi qu'un homéomorphisme f de V vers U, une boule ouverte de R^2 centrée à l'origine. On peut maintenant faire le raisonnement sur U. On peut supposer que le cercle est transformé en un petit cercle autour de l'origine et que N est envoyé sur l'origine. La section s , nous donne alors un vecteur pour chaque point de U. Pour simplifier nous supposerons que et que le vecteur associé à chaque point est (1,0). Bon, on va maintenant calculer l'enroulement autour de . Il faut pour cela, en chaque point , trouver deux vecteurs de base de tels qu'un des deux soit le vecteur tangent à . On peut prendre et où est l'angle qui détermine le point de que nous considérons. On a maintenant un repère mobile et il faut savoir combien de tour fait notre vecteur (1,0) dans ce repère. Pour cela, il faut convertir le vecteur (1,0) dans chacun des nouveaux repères. On trouve que pour le point associé à l'angle dans notre nouveau repère , le vecteur devient . On voit que c'est un vecteur qui fait un tour lorsque parcourt le cercle dans le sens positif. Donc le nombre d'enroulement est 1 pour le sens positif et -1 pour le sens négatif.
Ensuite, il faut comprendre pourquoi le sens de parcours du cercle change lorsque l'on passe du pôle nord au pôle sud. Imagine une sphère, si tu as un cercle centé sur le pôle nord qui tourne dans le sens positif, et que tu le déformes pour obtenir un cercle centré sur le pôle sud, tu verras qu'il tournera dans l'autre sens. Fais un dessin.

Je suis prêt à donner plus de détails si cela ne te suffit pas

[martini_bird]

Bonsoir,

une illustration de l'indice d'un champ de vecteurs: http://picard.ups-tlse.fr/~mcshane/indices.htm

[Sephi]

Tout proche d'un point, s est presque constant. Donc lorsque l'on tourne sur un cercle, on a l'impression que le vecteur s(p) fait un tour de cercle entier.

Donc, tout près d'un pôle, s(p) vaut "à peu près" s(pôle). Moi je visualise donc cela comme un champ de vecteurs ± constant sur l'ouvert U lR² homéomorphe au voisinage du pôle, sur la sphère.

Ce champ de vecteurs ± constant, c'est celui dont l'indice vaut 0, dans le lien qu'a donné martini_bird. Je suppose donc que l'indice d'un champ de vecteurs est différent du nombre d'enroulement dont tu parles ? Car par rapport au repère attaché à un point de C, un champ de vecteurs constant fait effectivement un tour complet.

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Ensuite, je vois bien qu'un sens de parcourt positif autour d'un pôle devient négatif lorsque l'on déforme continûment C pour le rapprocher de l'autre pôle. Mais cela ne se voit que si on "retourne la sphère", càd si on change de carte, non ? Sur S², il y a deux cartes, chacune contenant S² sauf un des pôles. En choisissant une carte, on n'a pas à "retourner la sphère", donc le sens de parcourt reste de même signe, non ?

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Pourquoi s(p) doit s'annuler quand le nombre d'enroulement passe de 1 à -1 (par exemple) ?

Parce que ce nombre vaut zéro à un moment ? Et que dans ce cas, le champ de vecteurs est (par ex) de forme divergente dont l'origine est le vecteur nul (champ de vecteurs d'indice 1 dans le lien de martini-bird) ? (En gros, le champ de vecteurs reste constant par rapport au repère mobile attaché à C, donc le nbre d'enroulement est d'office nul.)

[Sylvestre]

Donc, tout près d'un pôle, s(p) vaut "à peu près" s(pôle). Moi je visualise donc cela comme un champ de vecteurs ± constant sur l'ouvert U lR² homéomorphe au voisinage du pôle, sur la sphère.

Ce champ de vecteurs ± constant, c'est celui dont l'indice vaut 0, dans le lien qu'a donné martini_bird. Je suppose donc que l'indice d'un champ de vecteurs est différent du nombre d'enroulement dont tu parles ? Car par rapport au repère attaché à un point de C, un champ de vecteurs constant fait effectivement un tour complet.

C'est vrai , je ne parle pas de l'indice d'un champ de vecteur. Ce que je compte, c'est le nombre de tour que fait le champ de vecteur dans un référentiel lié à la tangente au cercle. Pour un champ de vecteur constant, ce nombre vaut -1 en tournant dans le sens positif (j'espère ne pas me tromper de signe), comme je l'ai montré par le calcul fait dans mon dernier message.

Ensuite, je vois bien qu'un sens de parcourt positif autour d'un pôle devient négatif lorsque l'on déforme continûment C pour le rapprocher de l'autre pôle. Mais cela ne se voit que si on "retourne la sphère", càd si on change de carte, non ? Sur S², il y a deux cartes, chacune contenant S² sauf un des pôles. En choisissant une carte, on n'a pas à "retourner la sphère", donc le sens de parcourt reste de même signe, non ?

C'est juste, il y a deux cartes, une qui est une carte de toute la sphère sauf le pôle sud et une autre qui est une carte de toute la sphère sauf le pôle nord. Tu verras que si tu regarde l'équateur dans le sens positif dans la carte du pôle nord, il tournera dans le sens négatif dans la carte du pôle sud. N'oublie pas de toujours regarder la sphère depuis l'extérieur. Si tu n'en es pas convaincu, on peut faire le calcul de l'application de changement de carte.

Pourquoi s(p) doit s'annuler quand le nombre d'enroulement passe de 1 à -1 (par exemple) ?

Pour voir cela, il faut faire une construction. Soit un chemin du plan et , l'application qui associe un vecteur non nul à chaque point de ce cercle. Ensuite, pour mieux visualiser le nombre d'enroulement, on notera l'application qui associe à un élément de S^1, l'angle que fait son image par s par rapport à l'horizontale. On notera aussi l'angle associé à la tangente de . Le nombre d'enroulement est alors
où 1 est le point de base de S^1.
Voilà, j'en viens maintenant au point principal. L'application fait un certain nombre de tour autour de l'origine. C'est le nombre d'enroulement. Maintenant, si on déforme continument cette application sans annuler aucun vecteur, on voit que l'on ne peut pas changer ce nombre. Pour le changer, il faut que le chemin parcouru traverse l'origine à un moment où à un autre (cela serait plus facile avec un dessin).
Ces explications sont juste une idée de la démonstration rigoureuse. Mais j'ai l'impression qu'il vaut mieux comprendre intuitivement ce que l'on fait avant d'entrer dans les détails des calculs.

[martini_bird]

Bonsoir,

je ne suis pas trop calé en géo diff, mais tu peux peut-être démontré que le fibré TS² n'est pas trivial en utilisant une autre caractérisation?

Par contre, ne me demande pas laquelle!

[Sylvestre]

Si on connait la notion d'homologie d'une application, alors j'ai une preuve courte du résultat.

[martini_bird]

Si on connait la notion d'homologie d'une application, alors j'ai une preuve courte du résultat.

Ca ne revient pas à utiliser la caractéristique d'Euler-Poincaré, puisque

?

Je suis intéressé.

[Sephi]

Je veux bien cette preuve courte

N'y a-t-il pas une autre preuve utilisant, dans le cas de TS², des vecteurs linéairement indépendants d'une fibre (= d'un plan tangent) ?

[Sylvestre]

La preuve va comme cela.
Par l'absurde, on suppose que l'on a une application telle que pour tout p, s(p) soit de norme 1 et dans l'espace tangent à au point p .

Pour tout p, on a alors un chemin qui suit le grand cercle tangent à s(p), tel que s(0)=p et s(1)=-p.
On peut alors définir l'application qui envoie (p,t) sur . C'est une application continue et en plus, c'est une équivalence d'homotopie entre l'application identité I et l'application telle que f(p)=-p.

On doit donc avoir que H_2(I)=H_2(f). Mais H_2(I)=1 et H_2(f)=-1.

Cette preuve s'adapte facilement pour montrer que toutes les sphères paires n'ont pas de section de ce type.

[martini_bird]

Salut,

si je résume, tu veux dire que s'il existe un champ de vecteurs partout non-nuls sur la sphère, il existe une équivalence d'homotopie entre l'identité et l'application antipodale, qui sont de degrés différents?

Plus précisément, que représentent H_2(f) et H_2(I)?

D'avance merci de m'éclairer.

[Sylvestre]

Salut,

si je résume, tu veux dire que s'il existe un champ de vecteurs partout non-nuls sur la sphère, il existe une équivalence d'homotopie entre l'identité et l'application antipodale, qui sont de degrés différents?

C'est exactement cela !

Plus précisément, que représentent H_2(f) et H_2(I)?

Il s'agit de l'homologie de degré 2 des applications f et I. Il s'agit bien du degré des applications. Pour l'expliquer, je dois commencer par expliquer ce qu'est que l'homologie d'un espace. Je ne veux pas entrer dans tous les détails, bien que je le ferai si on me le demande.

En très gros, H_k(X) pour une variété X, compte le nombre de trous de dimension n. Plus précisément, H_k(X) est un groupe. On le construit de la manière suivante :

On va supposer que X est de dimension n. Soit un découpage en cube de dimension n de la variété X. On considère aussi tous les sous-cubes de dimensions inférieurs à n.

Ensuite, pour chaque dimension k<=n, on peut former le groupe abélien libre engendré par tous les sous-cubes de dimensions k.
Cela forme le "groupe des chaînes cubiques de dimension k" associé à X. On le note C_k(X). Cela peut-être un très grand groupe si le découpage est très fin.
Ensuite, il y a des applications qui relient les C_k(X) entre eux :
. Ces applications sont définies de la manière suivante :
Si on a un cube c de dimension k, d_(c) est la somme des faces de c dans C_{k-1}(X). Par exemple, si c est un segment dont les deux extrémités sont a et b, alors d_1(c)=b-a. Le signe vient de l'orientation que l'on donne à chaque cube.
Si c est un carré, alors d_2(c) est la somme des quatres côtés de ce carré.
Ces applications vérifient les relations et donc . On peut donc faire le quotient . C'est ce quotient que l'on appelle H_k(X). C'est l'homologie de degré k. Elle ne dépend pas du quadrillage choisi au départ et c'est un invariant d'homotopie.

On peut le calculer par exemple pour S^2, grâce à un quadrillage fait de deux carrés a et b (les deux hémisphères) qui sont colés sur leurs quatre côtés x,y, z et t. Les points aux extrémités de x,y,z et t sont nommés p,q,r et s. Ainsi, C_2(S^2)=Z A + Z B où Z est l'ensemble des nombres entiers. C_1(S^2)=Z x + Z y + Z z + Z t et C_0(S^2)= Z p+z q+Z r+ Z s. J'essaie de faire un dessin :

z
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t¦ ¦y
¦ A ¦
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x

Ici, on va dire que les côtés sont orientés dans le sens positif et que A est orienté par un vecteur qui pointe vers nous.
Ensuite, le carré B est collé aux côtés de A.

z
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t¦ ¦y
¦ B ¦
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x

Il a les mêmes côtés que A, mais cette fois, B est orienté par un vecteur qui s'enfonce dans l'écran.

Ainsi d_2(A)=x+y+z+t et d_2(B)=-x-y-z-t.
d_1(x)=q-p
d_1(y)=r-q
d_1(z)=s-r
d_1(t)=p-s

On calcule les noyaux et les images et on trouve que H_2(S^2)=Z, H_1(Z)=0 et H_0(Z)=Z.

Maintenant, si on a une application f de S^2 vers S^2. On peut la transformer en une application H_2(f) qui va de H_2(S^2) vers H_2(S^2). Ainsi H_2(f) est un application de Z vers Z. Il suffit donc de donner l'image de 1 par cette application pour la définir. Pour I, c'est 1. Pour l'application antipodale f , on peut montrer que H_2(f)(1)=-1. En effet, C_2(f)(A)=-B.

Voilà, je sais bien que je n'ai pas mis tous les détails, mais je n'y arriverais pas en y passant moins d'une soirée. Alors si tu as des questions spécifiques, pose les moi.

Sylvestre, qui espère avoir réussi à expliquer un peu l'homologie

[martini_bird]

Salut,

merci pour ton explication!
Tout est là:

Maintenant, si on a une application f de S^2 vers S^2. On peut la transformer en une application H_2(f) qui va de H_2(S^2) vers H_2(S^2). Ainsi H_2(f) est un application de Z vers Z. Il suffit donc de donner l'image de 1 par cette application pour la définir. Pour I, c'est 1. Pour l'application antipodale f , on peut montrer que H_2(f)(1)=-1. En effet, C_2(f)(A)=-B.

Encore une petite question; peut-on voir H₂ comme un foncteur et ainsi H₂f comme l'application qui fait commuter un diagramme du genre
?

Sylvestre, qui espère avoir réussi à expliquer un peu l'homologie

Belle tentative en tout cas!

Merci encore.

PS: il s'agit de l'homologie "cellulaire", n'est-ce pas? Et si l'on remplace les cubes par des simplexes, c'est l'homologie "simpliciale", qui lui est équivalente?

[Sylvestre]

Encore une petite question; peut-on voir H₂ comme un foncteur et ainsi H₂f comme l'application qui fait commuter un diagramme du genre
?

Oui, c'est bien un foncteur.

PS: il s'agit de l'homologie "cellulaire", n'est-ce pas? Et si l'on remplace les cubes par des simplexes, c'est l'homologie "simpliciale", qui lui est équivalente?

En fait, j'ai un peu mélangé les concepts. Ce que j'ai décrit est l'homologie cellulaire, car elle porte sur une cellularisation de mon espace. L'homologie simpliciale est une construction un peu différente mais qui mène aux mêmes groupes d'homologie. Pour construire l'homologie simpliciale, on commence par considérer le groupe abélien engendré par les applications du simplexe de dimension n vers notre espace. C'est un objet gigantesque, mais heureusement, son homologie est simple. Pour l'homologie cubique, c'est la même chose, sauf que l'on prend des cubes [0,1]^n au lieu de simplexes.
Il y a une équivalence d'homotopie faible entre l'homologie cubique et l'homologie simpliciale. Cela veut dire, qu'il y a deux foncteurs F et G. F allant de l'homologie cubique vers la simpliciale et G allant dans le sens inverse tels que et (ou peut-être l'inverse). En tout cas, on ne peut pas passer de l'une à l'autre aussi facilement que l'on croit bien qu'elles conduisent toutes les deux à la même homologie pour les espaces.

A bientôt