Une petite équation dans C

[Bleyblue]

Bonjour,

J'essaye de trouver tous les complexes C tels que que les solutions z de l'équation :



sont réelles.

J'ai essayé mais je n'arrive même pas à déterminer à quelles conditions cette équation admet des solutions réelles uniquement.

J'ai bien essayé en factorisant le polynôme (a² + b² = (a + bi)(a - bi) ) ou en développant les carrés mais ça ne m'avance à rien ...

Avez-vous une idée ?

merci
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[erik]

C'est une équation du second degré, d'inconnu z.

Tu la résouds comme d'habitude : dévellope, réduit, calcul de discriminant (qui va dépendre de c),
trouve la valeur des solutions Z1 et Z2 (qui dépendent de c), Et voit quelles valeurs doit prendre c pour que Z1 et Z2 soient réels

[Bleyblue]

Ah, je peux développer ça comme ça :

(z - C + (C - 1)i)(z - C + (1 - C)i) = 0

Donc :

1) z - C + Ci - i = 0 -> z = C - Ci + i

ou

2) z - C - Ci + i = 0 -> z = C + Ci - i

mais après ça, je fais quoi ?

merci

[invitec314d025]

Maintenant tu cherches un complexe C = x + iy tel que (C-Ci+i) et (C+Ci-i) soient réels

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ah oui je n'avais pas pensé, donc:

(x + yi + xi - y - i) réel et :

(x - xi + yi + y + i) réel

donc

x + y - 1 = 0
y -x + 1= 0

donc y = 0 et x = 1

Donc la seule valeur que puisse prendre C c'est C = 1 + 0i

(je n'ai pas oublié de solutions ?)

merci !

[invite7d436771]

Effectivement ca m'a tout l'air d'etre la seule solution puisque ton équation est de degré 2 donc au maximum deux solutions. Comme ton discrimnant est égal à -4(C-1)² il n'est jamais strictement positif donc il n'y jamais deux racones reélles distinctes. La seule possibilité pour une racine réelle est que le discrimantn soit nul ie C=1 et dans ce cas tu as une racine réelle double. Donc tu n'avais meme pas besoin de passer par une forme x+iy (à moins que je me sois trompé dans mon raisonnement)
Cordialement,
Nox

[invitedf667161]

Effectivement ca m'a tout l'air d'etre la seule solution puisque ton équation est de degré 2 donc au maximum deux solutions. Comme ton discrimnant est égal à -4(C-1)² il n'est jamais strictement positif donc il n'y jamais deux racones reélles distinctes. La seule possibilité pour une racine réelle est que le discrimantn soit nul ie C=1 et dans ce cas tu as une racine réelle double. Donc tu n'avais meme pas besoin de passer par une forme x+iy (à moins que je me sois trompé dans mon raisonnement)
Cordialement,
Nox

Ca me parait bon. Dans n'importe quel anneau intègre le polynome (X-1)^2 n'a qu'une racine, et c'est 1.

[invite7d436771]

Merci pour cette confirmation GuYem, j'avais des doutes

[Bleyblue]

Ok merci bien !

[Bleyblue]

J'ai eu un énoncé assez semblable à celui-ci à l'examen.
Je n'ai donc pas eu trop de mal pour le résoudre, c'est gâce à vous, merci mille fois