[Géom. Diff] Montrer la différentiabilité d'une variété

[Lévesque]

Bonjour,

je suis en train de faire un exercice sur la n-sphère. J'ai un atlas de deux cartes engendrées par la projection stérographique en deux points. Je dois montrer que ma variété est différentiable, ce qui revient à montrer que les changements de cartes sont des fonctions différentiables.

Comme j'ai deux changements de cartes possibles (C1->C2 ou C2->C1), dois-je montrer que les deux sont différentiables (plus généralement, si j'ai un atlas de n cartes, dois-je démontrer la différentiabilité de tous les changements de carte)? Où bien y a-til un argument qui nous permet de s'en tenir à un? (ou plus généralement, un argument qui dit que si C1->C2 est différentiable, alors C2->C1 l'est aussi).

Aussi, pour montrer qu'il sont (infiniment) différentiables, j'avais l'idée d'utiliser l'induction mathématique... c'est une bonne idée?

Merci,

Simon
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[martini_bird]

Salut,

Je dois montrer que ma variété est différentiable, ce qui revient à montrer que les changements de cartes sont des fonctions différentiables.

J'aurais plutôt dit difféomorphismes, ce qui revient à vérifier dans les deux sens.
Si C₁ -> C₂ est différentiable, on ne peut pas conclure sans hypothèse supplémentaire que C₂ -> C₁ l'est aussi.

Cordialement.

[Lévesque]

Ok, en fait, la question est: Montrer que (S^n,D), ou D est engendré par l'atlas minimal A={(h_N, S^N\{N}),(h_S,S^n\{S})}, est une variété différentiable. S et N réfèrent aux pôles Sud et Nord, h_N est la fonction qui envoit un point de la sphère sur le "plan".

Donc, ce que tu dis, c'est qu'il faudrait montrer qu'un changement de carte est un difféomorphisme, ce qui revient à vérifier dans les deux sens.

Et donc, montrer dans un sens seulement montre que le changement de carte est différentiable, mais ne montre pas que la variété est différentiable.

C'est ça?

Merci MB,

Simon

[martini_bird]

Ben pour que la variété soit différentiable, il faut que les changements de cartes soient des difféomorphismes. C'est la définition, non? (tu en as peut-être vu une autre)

En somme, soit tu montres que est un difféomorphisme, soit tu montres que les deux applications et sont différentiables. Ca revient au même.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lévesque]

Ok, merci.

Dans mes notes, une application est un difféomorphisme si elle est bijective et différentiable, et si son inverse est différentiable. D'une façon ou d'une autre, je dois montrer la différentiabilité des deux applications. (À moins qu'il existe une technique pour montrer que c'est un difféomorphisme sans évaluer la différentiabilité de chaque application...)

Sinon, j'aurai peut-être besoin de quelques rappels. Pour montrer la différentiabilité d'un vecteur , je dois seulement montrer que tous les , existent (aussi pour les dérivés d'ordre supérieur)?

C'est loin tout ça...

Salutations,

Simon