Isométrie sur C²

[Bleyblue]

Bonjour,

Si j'ai l'application suivante sur l'espace vectoriel hermitien




Je cite le passage de mon cours qui s'y rapporte : "Cette application est évidemment linéaire, et aussi une permutation car le déterminant de la matrice est non nul"

Ah tiens, si le déterminant de la matrice d'un opérateur linéaire est non nul on a d'office un permutation ?

Ca provient du fait que :

f est une permutation ==> f est inversible ==> la matrice de f est inversible <==> le déterminant de cette dernière est non nul

?

Donc en fait dire qu'une matrice est inversible ça équivaut à dire que le déterminant de celle-ci est non nul ?

Ensuite j'aurais encore une question mais si vous pouviez déja me rassurer sur ce point ça serait bien

merci
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[invitedf667161]

J'ai jamais vraiment entendu le nom "permutation" pour une application linéaire bijective.

Cependant je peux te rassurer sur le fait suivant, si K= R ou C et que f est une application K-linéaire d'un Kev dans lui-même alors :

f est inversible en tant qu'application <==> la matrice de f (dans n'importe quelle base) est inversible en tant que matrice <==> le déterminant de la matrice de f (toujours dans n'importe quelle base) est non nul

[Bleyblue]

J'ai jamais vraiment entendu le nom "permutation" pour une application linéaire bijective.

Oui c'est synonyme, sans doute encore un belgissisme

Cependant je peux te rassurer sur le fait suivant, si K= R ou C et que f est une application K-linéaire d'un Kev dans lui-même alors :

f est inversible en tant qu'application <==> la matrice de f (dans n'importe quelle base) est inversible en tant que matrice <==> le déterminant de la matrice de f (toujours dans n'importe quelle base) est non nul

Ok. Donc les éléments du groupe linéaire général (ou ) sont simplement caractérisés par un déterminant non nul. C'est bon à savoir ...

Sinon dans mon cours on montre aussi que f est une isométrie centrée :

Il faut donc montrer

(1)



(l'exposant - désigne la matrice conjugée)

Le passage de l'avant dernière ligne à la dernière est un peu floue je trouve

On cherche donc à exprimer et en fonction de z1 z2 t1 et t2

Comme :



on transpose les deux membres de l'équation et en vertu de :



on a :



Et on procède de même (en conjugant les deux membres au lieu de transposer) pour établire :



et on injecte ces deux égalités dans l'équation (1).

C'est bien ça non ?

merci

[invitedf667161]

Ca me parait bon ce que tu fais mais ça me parait bien compliqué aussi !
Pour vérifier que f est une isométrie, ie qu'elle conserve le produit scalaire <z,z'> = z_1.z'_1 + z_2.z'_2 il suffit de vérifier que sa matrice M vérifie l'identité Transposé(conjuguée(M)) = M.
Cela est plutôt trivial ici et en fait tous les calculs que tu as fait doivent se ramener à cette simple identité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Salut !

Ca me parait bon ce que tu fais mais ça me parait bien compliqué aussi !
Pour vérifier que f est une isométrie, ie qu'elle conserve le produit scalaire <z,z'> = z_1.z'_1 + z_2.z'_2 il suffit de vérifier que sa matrice M vérifie l'identité Transposé(conjuguée(M)) = M.

Gnî ?

Tu viens d'écrire que M était autoadjointe, non ?
Ca n'implique pas qu'elle conserve le produit scalaire. En effet, on a alors que
.
Et c'est tout. Je pense donc que tu voulais parler des matrices unitaires , non ?

__
rvz

[invitedf667161]

Salut !



Gnî ?

Tu viens d'écrire que M était autoadjointe, non ?
Ca n'implique pas qu'elle conserve le produit scalaire. En effet, on a alors que
.
Et c'est tout. Je pense donc que tu voulais parler des matrices unitaires , non ?

__
rvz

Bien sur, je m'ai bien trompé ! Merci de rectifier !

Cela dit la matrice de Beyblue est bien auto-adjointe

[Bleyblue]

oui ces calculs viennent de mon cours en fait, j'ai juste eu un peu de mal à comprendre.
Je vais pouvoir continuer la

merci