1ère S: polynômes et sommes de puissances consécutives

[invited4f30312]

Bonjour.

Soit n apartient au naturel (N) et n superieur ou egal à 2
1) Détermination de la somme 1 + 2 + ... + n :
a) Déterminer un polynôme P, de degré 2, vérifiant pour tout réel x : P(x+1)-P(x)=x
b) Prouver l'égalité : 1 + 2 + ... + n = P(n+1)-P(1)
En déduire que 1 + 2 + ... + n = (n(n+1)) / 2
2) Détermination de la somme 1² + 2²+ ... +n²
a) Déterminer un polynôme Q, de degré 3, vérifiant pour tout réel x : Q(x+1)-Q(x) = x²
b) En déduire les égalités :
1² + 2² + ... + n² = Q(n+1)-Q(1)
1² + 2² + ... + n² = (n(n+1)(2n+1)) / 6

Je voudrais des aides car je vois vraiment pas comment faire. Et si vous pouviez mettre la réponse ca m'aiderais. Mais la détailler pas que je réflechisse seul.
Amicalement Pierre.
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[invite6f0362b8]

Pour calculer la somme de 1 +2 +3 + ...+ n

je te donne un indice

fais : 1 +2 + 3 + 4 + ... + n-1 + N

+ ..... N + n-1 + n-2 + .......+2 + 1

[invite6f0362b8]

a/ un polynome de degré 2 s'ecrit

P(u) = a.u² + b.u + c

donc p(x+1) = a.(x+1)² + b(x+1) + c
et p(x) = ax²+bx+c

quel sont les coeff a,b,c pour que

p(x+1) - p(x) = x

[invite6f0362b8]

maintenant pour prouver que 1 +2 +3 +..+n = P(n+1) - P(1)

tu sait que P(x+1) - p(x) = x

donc si tu remplace x par n tu aura

p(n+1) - p(n) = n

pour obtenir n-1 il te faudra faire

p(n) - p(n-1) = n-1

etc etc

donc pour obtenir n + n-1 + n-2 + ....+ 3 + 2 + 1 ?
il te faut faire quoi ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited4f30312]

Merci Penelope20k, mais :
pour la a quand tu dis que le polinôme de degré 2 de :
P(x+1) c'est a.(x+1)² + b.(x+1) + c
et P(x) c'est a.x² + b.x + c
je vois pas comment faire, je trouve ça étrange :
a.(x+1)² + b.(x+1) + c - (a.x² + b.x + c) = x
a.(x²+2x+1) + b.(x+1) + c - a.x² - b.x - c = x
a.x² + 2.a.x + a + b.x + b + c -a.x² - b.x - c = x
(2.a+b).x + a + b = x

??? je fais coment après ?? Es ce que je suis bien parti ??

[invitebb921944]

C'est ça !
Et maintenant tu procèdes par identification.
Le coefficient de x à droite vaut 1, donc celui de gauche doit aussi valoir 1.
Le coefficient constant à droite vaut 0, donc celui de gauche doit valoir 0.
Ainsi tu obtiens un système que tu peux résoudre facilement. et tu peux réécrire ton polynôme avec les bonnes valeurs de a, b et c !

[invited4f30312]

Je vois vraiment pas là, pourais-tu réexpliquez lol
avec un langage plus simple ou avec des exemples pliz pliz pliz

[invitebb921944]

Tu as dit que pour que ton polynôme vérifie
P(x+1)-P(x)=x, il fallait nécessairement que :
(2a+b)x+a+b=x

En gros il faut que tu aies cette condition pour que ça marche.
Or pour que l'égalité au dessus soit vraie, il semble évident qu'il faut que 2a+b=1 et a+b=0
On a ainsi :
1*x+0=x
Ca marche.
J'ai identifié les membres de gauche et de droite, c'est à dire que j'ai dit que les coefficients de 1,x,x²,x^3 etc... devaient être les mêmes à gauche et à droite de l'égalité pour qu'elle soit vérifiée.

Maintenant j'obtiens le système suivant :
2a+b=1
a+b=0

Il faut que ces deux égalités soient vraies pour que P(x+1)-P(x)=x (vu que j'ai tiré ces deux égalités de ma condition !)

Tu dois donc trouver a et b qui vérifie ces deux égalités, et ensuite tu peux réécrire ton polynome de départ (ax²+bx+c) avec les bons coefficients de manière à ce que ce polynôme vérifie P(x+1)-P(x)=x

[invited4f30312]

Attend, enfet je me suis trompé :
ce n'est pas : (2.a+b).x + a+ b = x
C'est : 2.a.x + a + b = x
Ca ne change rien ??

[invitebb921944]

Ca ne change rien à la méthode, ca change une équation du système mais si tu as compris, tu devrais pouvoir rectifier tout seul !

[invited4f30312]

OUIoki, mais je vois pas comment l'expliquer ??
Et puis c = ?? parce que on a que a et b ??

Sur le devoir je met :
Or pour finir il faut que l'égalité au dessus soit vraie, il semble évident qu'il faut que 2a=1 et a+b=0

et ensuite désolé mais la je suis un peu fatigué , je vois pas ??

[invite97a92052]

Or pour que l'égalité au dessus soit vraie, il semble évident qu'il faut que 2a+b=1 et a+b=0

Attention, en 1ère (comme en Terminale), on ne peut pas écrire "il faut que"... mais bien "il suffit que", car certains résultats sur les polynômes ne sont pas démontrés (pas au programme).

Voilà, c'était juste le pinaillage de la journée

[invitebb921944]

Evite les "il semble évident" ça plait rarement au professeur
Ecris plutôt :
"Par identification, on peut déduire le système suivant :
2a=1
a+b=0"

Sinon, s'il n'y a pas de condition sur c, ça veut dire que ....????

[invite97a92052]

OUIoki, mais je vois pas comment l'expliquer ??
Et puis c = ?? parce que on a que a et b ??

Sur le devoir je met :
Or pour finir il faut que l'égalité au dessus soit vraie, il semble évident qu'il faut que 2a=1 et a+b=0

et ensuite désolé mais la je suis un peu fatigué , je vois pas ??

P(x) = 1*x + 0
P(x) = (2a+b)x + a + b + 0*c

=> 2a+b = 1
et a+b = 0


(EDIT : j'ai écrit des bêtises j'aurai mieux fait de bien lire l'énoncé...)

[invite6f0362b8]

ouaps je te corrive
p(x+1) - p(x) = x

a(x+1)²+b(x+1) + c - (ax² + bx + c) = x

done

2a.x + (a+b) = 1 . x +0

d'ou

2a=1 , a+b = 0

ca suffit comme justification pour dire que tous les polynome de la forme

1/2 x² - 1/2 x + c (quelconque) repondent à p(x+1)-p(x)=x

[invited4f30312]

MAINCE C'EST PAS : 2a+b , C'EST 2a TOUT COURT !!!

[invite6f0362b8]

pour la question b
tu doit prouver que la somme des n premiers entiers est egale a p(n+1) - p(1)

or tu sais que

1 = p(2) - p(1)

2 = p(2+1) - p(2) ..

n = p(n+1) - p(n) ....(par definition de ton polynome p(x))



Pour la question 2 .. bah t'auras pas besoin d'aide ..suffit de proceder de la meme maniere que la question 1
sauf que ton polynome est de degré 3 : p(x) = ax^3 + bx² + cx +d

[invited4f30312]

Non, mais je suis toujours sur la a)
J'arrive à cela :
2a = 0
a + b = 0

Donc on dit que :
a = 1/2
b = -1/2
c = ??

dites moi ce que c'est que c et si j'ai bon ??

[invite6f0362b8]

1/2 x² - 1/2 x + c (quelconque) repondent à p(x+1)-p(x)=x

a ton avis ?

[invitebb921944]

Non, mais je suis toujours sur la a)
J'arrive à cela :
2a = 0
a + b = 0

Donc on dit que :
a = 1/2

C'est vrai que si a=1/2, alors 2a=0 !!!

[invited4f30312]

S'il vous plait dites moi juste si c'est bon. Et aidez mo ia connaitre le c !
Merci.

[invited4f30312]

Escusez moi, je n'avais pas vu qu'il y avait plusieur page

Je comprend pas votre raisonnement :
Pour Penelope20k, a mon avis quoi ?
et pour Ganash a = 1/2 alor 2a = 1 !!!!

[invitebb921944]

La condition c'est :
a+b=0
2a=1
Ca je te l'ai expliqué, relis les anciens post.
Maintenant tu obtiens un systèmes deux équations, deux inconnues (a et b) que tu résous !

Tu obtiens ainsi a et b
Maintenant le c peut être égal à n'importe quoi, dans tous les cas, les c s'annuleront quand tu calculeras
P(x+1)-P(x) pour obtenir x ! (t'as qu'à essayer de faire le calcul !)

[invited4f30312]

maintenant pour prouver que 1 +2 +3 +..+n = P(n+1) - P(1)

tu sait que P(x+1) - p(x) = x

donc si tu remplace x par n tu aura

p(n+1) - p(n) = n

pour obtenir n-1 il te faudra faire

p(n) - p(n-1) = n-1

etc etc

donc pour obtenir n + n-1 + n-2 + ....+ 3 + 2 + 1 ?
il te faut faire quoi ?

Pour celle la, je n'ai pas tout compris. Peux--tu réexpliquer plus concrétement ?

[invited4f30312]

La question c'est
Prouver l'égalité suivante : 1 + 2 + ... + n = P(n+1) - P(1)

On peu pas faire je remplace x par n car ca donne ca
P(x+1) - P(x)=x ======> P(n+1) - P(n) = n
Or on cheche P(n+1) - P(1) !!
Donc je vois pas !