1ère S: polynômes et sommes de puissances consécutives
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1ère S: polynômes et sommes de puissances consécutives



  1. #1
    invited4f30312

    1ère S: polynômes et sommes de puissances consécutives


    ------

    Bonjour.

    Soit n apartient au naturel (N) et n superieur ou egal à 2
    1) Détermination de la somme 1 + 2 + ... + n :
    a) Déterminer un polynôme P, de degré 2, vérifiant pour tout réel x : P(x+1)-P(x)=x
    b) Prouver l'égalité : 1 + 2 + ... + n = P(n+1)-P(1)
    En déduire que 1 + 2 + ... + n = (n(n+1)) / 2
    2) Détermination de la somme 1² + 2²+ ... +n²
    a) Déterminer un polynôme Q, de degré 3, vérifiant pour tout réel x : Q(x+1)-Q(x) = x²
    b) En déduire les égalités :
    1² + 2² + ... + n² = Q(n+1)-Q(1)
    1² + 2² + ... + n² = (n(n+1)(2n+1)) / 6

    Je voudrais des aides car je vois vraiment pas comment faire. Et si vous pouviez mettre la réponse ca m'aiderais. Mais la détailler pas que je réflechisse seul.
    Amicalement Pierre.

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  2. #2
    invite6f0362b8

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    Pour calculer la somme de 1 +2 +3 + ...+ n

    je te donne un indice

    fais : 1 +2 + 3 + 4 + ... + n-1 + N

    + ..... N + n-1 + n-2 + .......+2 + 1

  3. #3
    invite6f0362b8

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    a/ un polynome de degré 2 s'ecrit

    P(u) = a.u² + b.u + c

    donc p(x+1) = a.(x+1)² + b(x+1) + c
    et p(x) = ax²+bx+c

    quel sont les coeff a,b,c pour que

    p(x+1) - p(x) = x

  4. #4
    invite6f0362b8

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    maintenant pour prouver que 1 +2 +3 +..+n = P(n+1) - P(1)

    tu sait que P(x+1) - p(x) = x

    donc si tu remplace x par n tu aura

    p(n+1) - p(n) = n

    pour obtenir n-1 il te faudra faire

    p(n) - p(n-1) = n-1

    etc etc

    donc pour obtenir n + n-1 + n-2 + ....+ 3 + 2 + 1 ?
    il te faut faire quoi ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invited4f30312

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    Merci Penelope20k, mais :
    pour la a quand tu dis que le polinôme de degré 2 de :
    P(x+1) c'est a.(x+1)² + b.(x+1) + c
    et P(x) c'est a.x² + b.x + c
    je vois pas comment faire, je trouve ça étrange :
    a.(x+1)² + b.(x+1) + c - (a.x² + b.x + c) = x
    a.(x²+2x+1) + b.(x+1) + c - a.x² - b.x - c = x
    a.x² + 2.a.x + a + b.x + b + c -a.x² - b.x - c = x
    (2.a+b).x + a + b = x

    ??? je fais coment après ?? Es ce que je suis bien parti ??

  7. #6
    invitebb921944

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    C'est ça !
    Et maintenant tu procèdes par identification.
    Le coefficient de x à droite vaut 1, donc celui de gauche doit aussi valoir 1.
    Le coefficient constant à droite vaut 0, donc celui de gauche doit valoir 0.
    Ainsi tu obtiens un système que tu peux résoudre facilement. et tu peux réécrire ton polynôme avec les bonnes valeurs de a, b et c !

  8. #7
    invited4f30312

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    Je vois vraiment pas là, pourais-tu réexpliquez lol
    avec un langage plus simple ou avec des exemples pliz pliz pliz

  9. #8
    invitebb921944

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    Tu as dit que pour que ton polynôme vérifie
    P(x+1)-P(x)=x, il fallait nécessairement que :
    (2a+b)x+a+b=x

    En gros il faut que tu aies cette condition pour que ça marche.
    Or pour que l'égalité au dessus soit vraie, il semble évident qu'il faut que 2a+b=1 et a+b=0
    On a ainsi :
    1*x+0=x
    Ca marche.
    J'ai identifié les membres de gauche et de droite, c'est à dire que j'ai dit que les coefficients de 1,x,x²,x^3 etc... devaient être les mêmes à gauche et à droite de l'égalité pour qu'elle soit vérifiée.

    Maintenant j'obtiens le système suivant :
    2a+b=1
    a+b=0

    Il faut que ces deux égalités soient vraies pour que P(x+1)-P(x)=x (vu que j'ai tiré ces deux égalités de ma condition !)

    Tu dois donc trouver a et b qui vérifie ces deux égalités, et ensuite tu peux réécrire ton polynome de départ (ax²+bx+c) avec les bons coefficients de manière à ce que ce polynôme vérifie P(x+1)-P(x)=x

  10. #9
    invited4f30312

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    Attend, enfet je me suis trompé :
    ce n'est pas : (2.a+b).x + a+ b = x
    C'est : 2.a.x + a + b = x
    Ca ne change rien ??

  11. #10
    invitebb921944

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    Ca ne change rien à la méthode, ca change une équation du système mais si tu as compris, tu devrais pouvoir rectifier tout seul !

  12. #11
    invited4f30312

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    OUIoki, mais je vois pas comment l'expliquer ??
    Et puis c = ?? parce que on a que a et b ??

    Sur le devoir je met :
    Or pour finir il faut que l'égalité au dessus soit vraie, il semble évident qu'il faut que 2a=1 et a+b=0

    et ensuite désolé mais la je suis un peu fatigué , je vois pas ??

  13. #12
    g_h

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    Citation Envoyé par Ganash
    Or pour que l'égalité au dessus soit vraie, il semble évident qu'il faut que 2a+b=1 et a+b=0
    Attention, en 1ère (comme en Terminale), on ne peut pas écrire "il faut que"... mais bien "il suffit que", car certains résultats sur les polynômes ne sont pas démontrés (pas au programme).

    Voilà, c'était juste le pinaillage de la journée

  14. #13
    invitebb921944

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    Evite les "il semble évident" ça plait rarement au professeur
    Ecris plutôt :
    "Par identification, on peut déduire le système suivant :
    2a=1
    a+b=0"

    Sinon, s'il n'y a pas de condition sur c, ça veut dire que ....????

  15. #14
    g_h

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    Citation Envoyé par Toxikhomo
    OUIoki, mais je vois pas comment l'expliquer ??
    Et puis c = ?? parce que on a que a et b ??

    Sur le devoir je met :
    Or pour finir il faut que l'égalité au dessus soit vraie, il semble évident qu'il faut que 2a=1 et a+b=0

    et ensuite désolé mais la je suis un peu fatigué , je vois pas ??
    P(x) = 1*x + 0
    P(x) = (2a+b)x + a + b + 0*c

    => 2a+b = 1
    et a+b = 0


    (EDIT : j'ai écrit des bêtises j'aurai mieux fait de bien lire l'énoncé...)

  16. #15
    invite6f0362b8

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    ouaps je te corrive
    p(x+1) - p(x) = x

    a(x+1)²+b(x+1) + c - (ax² + bx + c) = x

    done

    2a.x + (a+b) = 1 . x +0

    d'ou

    2a=1 , a+b = 0

    ca suffit comme justification pour dire que tous les polynome de la forme

    1/2 x² - 1/2 x + c (quelconque) repondent à p(x+1)-p(x)=x

  17. #16
    invited4f30312

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    MAINCE C'EST PAS : 2a+b , C'EST 2a TOUT COURT !!!

  18. #17
    invite6f0362b8

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    pour la question b
    tu doit prouver que la somme des n premiers entiers est egale a p(n+1) - p(1)

    or tu sais que

    1 = p(2) - p(1)

    2 = p(2+1) - p(2) ..

    n = p(n+1) - p(n) ....(par definition de ton polynome p(x))



    Pour la question 2 .. bah t'auras pas besoin d'aide ..suffit de proceder de la meme maniere que la question 1
    sauf que ton polynome est de degré 3 : p(x) = ax^3 + bx² + cx +d

  19. #18
    invited4f30312

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    Non, mais je suis toujours sur la a)
    J'arrive à cela :
    2a = 0
    a + b = 0

    Donc on dit que :
    a = 1/2
    b = -1/2
    c = ??

    dites moi ce que c'est que c et si j'ai bon ??

  20. #19
    invite6f0362b8

    Re : 1ère S: polynômes et sommes de puissances consécutives

    1/2 x² - 1/2 x + c (quelconque) repondent à p(x+1)-p(x)=x
    a ton avis ?

  21. #20
    invitebb921944

    Re : 1ère S: polynômes et sommes de puissances consécutives

    Non, mais je suis toujours sur la a)
    J'arrive à cela :
    2a = 0
    a + b = 0

    Donc on dit que :
    a = 1/2
    C'est vrai que si a=1/2, alors 2a=0 !!!

  22. #21
    invited4f30312

    Re : 1ère S: polynômes et sommes de puissances consécutives

    S'il vous plait dites moi juste si c'est bon. Et aidez mo ia connaitre le c !
    Merci.

  23. #22
    invited4f30312

    Re : 1ère S: polynômes et sommes de puissances consécutives

    Escusez moi, je n'avais pas vu qu'il y avait plusieur page

    Je comprend pas votre raisonnement :
    Pour Penelope20k, a mon avis quoi ?
    et pour Ganash a = 1/2 alor 2a = 1 !!!!

  24. #23
    invitebb921944

    Re : 1ère S: polynômes et sommes de puissances consécutives

    La condition c'est :
    a+b=0
    2a=1
    Ca je te l'ai expliqué, relis les anciens post.
    Maintenant tu obtiens un systèmes deux équations, deux inconnues (a et b) que tu résous !

    Tu obtiens ainsi a et b
    Maintenant le c peut être égal à n'importe quoi, dans tous les cas, les c s'annuleront quand tu calculeras
    P(x+1)-P(x) pour obtenir x ! (t'as qu'à essayer de faire le calcul !)

  25. #24
    invited4f30312

    Re : J'arrive pas !! Aidez moi !! 1ère S !!

    Citation Envoyé par Penelope20k
    maintenant pour prouver que 1 +2 +3 +..+n = P(n+1) - P(1)

    tu sait que P(x+1) - p(x) = x

    donc si tu remplace x par n tu aura

    p(n+1) - p(n) = n

    pour obtenir n-1 il te faudra faire

    p(n) - p(n-1) = n-1

    etc etc

    donc pour obtenir n + n-1 + n-2 + ....+ 3 + 2 + 1 ?
    il te faut faire quoi ?
    Pour celle la, je n'ai pas tout compris. Peux--tu réexpliquer plus concrétement ?

  26. #25
    invited4f30312

    Re : 1ère S: polynômes et sommes de puissances consécutives

    La question c'est
    Prouver l'égalité suivante : 1 + 2 + ... + n = P(n+1) - P(1)

    On peu pas faire je remplace x par n car ca donne ca
    P(x+1) - P(x)=x ======> P(n+1) - P(n) = n
    Or on cheche P(n+1) - P(1) !!
    Donc je vois pas !

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