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Polynômes et somme de carrés consécutifs



  1. #1
    snakkke

    Polynômes et somme de carrés consécutifs

    Bonjour à tous. A vrai dire j'ai un problème ( sens propre et sens figuré ... ). En fait il se trouve qu'un exercice proposé dans un Devoir-Maison de Mathématiques me pose quelques soucis . C'est pourquoi j'aurais besoin de votre aide si possible et assez rapidement. Alors voila cet exercice :

    1.Démontrer qu'il existe un unique polynôme de degré 3 vérifiant:

    P(0) = 0 et pour tout x appartenant a |R, P(x) - P(x-1) = x²

    On rappelle que (a - b)^3 = a^3 - 3a²b + 3ab² - b^3 .

    2. En exprimant k² en fonction de P(k) et P(k-1), puis en additionnant les égalités, déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :

    Sigma de k=1 jusqu'&#224; n,fois k&#178; = [n(n+1)(2n+1)] / 6 <- ceci est une fraction.

    -----

    Dernière modification par snakkke ; 14/12/2005 à 18h59.

  2. Publicité
  3. #2
    anonymus

    Re : snakkke

    Tu vas te faire mod&#233;rer toi !!!

    Coucou benjy
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  4. #3
    Coincoin

    Re : snakkke

    Coucou benjy
    Moi d'abord !
    Snakke, les utilisateurs de ce forum ne sont pas là pour faire tes DM à ta place. Alors soit tu nous montres que tu as cherché, soit je vais devoir fermer ce sujet.
    Au passage, si tu pouvais me proposer un titre explicite pour le sujet...
    Encore une victoire de Canard !

  5. #4
    snakkke

    Re : snakkke

    Bon alors effectivement j'ai cherch&#233; mais malheuresement pour la question 1. je bloque &#224; ceci :

    je mets que le polyn&#244;me recherch&#233; est un polyn&#244;me du troisi&#232;me degr&#233; et par consequent il est de la forme : P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d et donc je trouve que P(x) - P(x -1) = x&#178; <=> ax^3 + bx^2 + cx + d - (ax^3 + bx^2 + cx + d - 1) = x&#178; <=> 1 = x&#178; et voila je ne sais plus quoi faire ni m&#234;me dans quel sens partir . Quant &#224; la question 2. c'est simple : je ne vois pas du tout par ou m'y prendre . Voila et pour le titre cela pourrai etre "D&#233;termination d'un unique polyn&#244;me du troisi&#232;me degr&#233;" ^_^ .

  6. #5
    prgasp77

    Re : Polynômes et somme de carrés consécutifs

    1\
    Ton d est nul puisque P(0) = 0
    Tu as une erreur dans tes équivalences il me semble, calcule mieux P(x+1).

    Bonne chance.
    --Yankel Scialom

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    snakkke

    Re : Polynômes et somme de carrés consécutifs

    Ben en fait c'est P(x-1) et non P(x+1) donc j'ai tout simplement rajout&#233; -1 a l'expression de P(x) mais je ne sais pas si c'est comme ca que l'on doit faire car c'est la premi&#232;re fois que je me retrouve avec un cas comme ca. Sinon je n'ai pa bien compris ta phrase en rapport avec la racine , que signifie ton "d" ?

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  10. #7
    Evil.Saien

    Re : Polynômes et somme de carrés consécutifs

    Salut,

    Il faut ecrire P(x) explicitement en fonction de parametres:
    P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

    Et ensuite verifier pour quel(s) a, b, c, d l'egalite est verifiee. Si tu montres qu'il existe une seule possibilite, c'est bon !

    Edit: Desole, j'ai zappe ton 2eme message...

    La faute est que P(x-1) n'est pas P(x) - 1 !!!!
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  11. #8
    Romain BERTOUY

    Re : Polynômes et somme de carrés consécutifs

    Oui, c'est la que vient le problème, si tu écris P(X-1) c'est que la variable "X" que l'on trouve dans P(X) est changée en "X-1"
    cela ne revient pas a rajouté "-1" dans l'expression de P(X) mais à remplacer toutes les expressions de X dans le polynôme par X-1.
    Romain

  12. #9
    Jeanpaul

    Re : Polynômes et somme de carrés consécutifs

    Bref, ne pas confondre P(x-1) et P(x) - 1

  13. #10
    snakkke

    Re : Polynômes et somme de carrés consécutifs

    ahhh d'accord merci beaucoup je vais voir ce que je vais faire ^_^. Je pense que cela va me debloquer nettement, dans le cas contraire je viendrai vous revoir . Merci

  14. #11
    snakkke

    Re : Polynômes et somme de carrés consécutifs

    Bon notre professeur nous avait finalement laissé jusqu'au retour des vacances. Depuis ce temps j'ai progressé et je pense avoir trouvé la réponse a la question 1. :

    Par le théorème d'identification, j'ai pu trouver que a=1/3, b=1/2, c=1/6 et d=0 . Quelqu'un peut-il me confirmer ces résultats?
    Merci d'avance

  15. #12
    nissart7831

    Re : Polynômes et somme de carrés consécutifs

    Bonjour,

    c'est bon pour les coefficients de ton polynôme.

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