Polynômes et somme de carrés consécutifs

[invitec3a3a3c8]

Bonjour à tous. A vrai dire j'ai un problème ( sens propre et sens figuré ... ). En fait il se trouve qu'un exercice proposé dans un Devoir-Maison de Mathématiques me pose quelques soucis . C'est pourquoi j'aurais besoin de votre aide si possible et assez rapidement. Alors voila cet exercice :

1.Démontrer qu'il existe un unique polynôme de degré 3 vérifiant:

P(0) = 0 et pour tout x appartenant a |R, P(x) - P(x-1) = x²

On rappelle que (a - b)^3 = a^3 - 3a²b + 3ab² - b^3 .

2. En exprimant k² en fonction de P(k) et P(k-1), puis en additionnant les égalités, déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :

Sigma de k=1 jusqu'&#224; n,fois k&#178; = [n(n+1)(2n+1)] / 6 <- ceci est une fraction.
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[invitefc60305c]

Tu vas te faire mod&#233;rer toi !!!

Coucou benjy

[invite88ef51f0]

Coucou benjy

Moi d'abord !
Snakke, les utilisateurs de ce forum ne sont pas là pour faire tes DM à ta place. Alors soit tu nous montres que tu as cherché, soit je vais devoir fermer ce sujet.
Au passage, si tu pouvais me proposer un titre explicite pour le sujet...

[invitec3a3a3c8]

Bon alors effectivement j'ai cherch&#233; mais malheuresement pour la question 1. je bloque &#224; ceci :

je mets que le polyn&#244;me recherch&#233; est un polyn&#244;me du troisi&#232;me degr&#233; et par consequent il est de la forme : P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d et donc je trouve que P(x) - P(x -1) = x&#178; <=> ax^3 + bx^2 + cx + d - (ax^3 + bx^2 + cx + d - 1) = x&#178; <=> 1 = x&#178; et voila je ne sais plus quoi faire ni m&#234;me dans quel sens partir . Quant &#224; la question 2. c'est simple : je ne vois pas du tout par ou m'y prendre . Voila et pour le titre cela pourrai etre "D&#233;termination d'un unique polyn&#244;me du troisi&#232;me degr&#233;" ^_^ .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7553e94d]

1\
Ton d est nul puisque P(0) = 0
Tu as une erreur dans tes équivalences il me semble, calcule mieux P(x+1).

Bonne chance.

[invitec3a3a3c8]

Ben en fait c'est P(x-1) et non P(x+1) donc j'ai tout simplement rajout&#233; -1 a l'expression de P(x) mais je ne sais pas si c'est comme ca que l'on doit faire car c'est la premi&#232;re fois que je me retrouve avec un cas comme ca. Sinon je n'ai pa bien compris ta phrase en rapport avec la racine , que signifie ton "d" ?

[Evil.Saien]

Salut,

Il faut ecrire P(x) explicitement en fonction de parametres:
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

Et ensuite verifier pour quel(s) a, b, c, d l'egalite est verifiee. Si tu montres qu'il existe une seule possibilite, c'est bon !

Edit: Desole, j'ai zappe ton 2eme message...

La faute est que P(x-1) n'est pas P(x) - 1 !!!!

[invite0f5c0a62]

Oui, c'est la que vient le problème, si tu écris P(X-1) c'est que la variable "X" que l'on trouve dans P(X) est changée en "X-1"
cela ne revient pas a rajouté "-1" dans l'expression de P(X) mais à remplacer toutes les expressions de X dans le polynôme par X-1.

[invitea3eb043e]

Bref, ne pas confondre P(x-1) et P(x) - 1

[invitec3a3a3c8]

ahhh d'accord merci beaucoup je vais voir ce que je vais faire ^_^. Je pense que cela va me debloquer nettement, dans le cas contraire je viendrai vous revoir . Merci

[invitec3a3a3c8]

Bon notre professeur nous avait finalement laissé jusqu'au retour des vacances. Depuis ce temps j'ai progressé et je pense avoir trouvé la réponse a la question 1. :

Par le théorème d'identification, j'ai pu trouver que a=1/3, b=1/2, c=1/6 et d=0 . Quelqu'un peut-il me confirmer ces résultats?
Merci d'avance

[invite52c52005]

Bonjour,

c'est bon pour les coefficients de ton polynôme.