Bonjour,
J'ai un exerxice qui avait l'air assez facile au départ mais qui me pose problème à présent:
Montrer que pour tout réel x et y tel que xy différent de -1:
(a) (lxl<1 et lyl<1) ou (lxl>1 et lyl>1) implique l(x+y)/(1+xy)l<1
(b) (lxl<1 et lyl>1) ou (lxl>1 et lyl<1) implique l(x+y)/(1+xy)l>1
Alors pour le début du a) j'ai pensé à utiliser l'inégalité triangulaire avec succés mais pour toute la suite ça ne marche pas!!!
Quelqu'un aurait une piste à me fournir?
Merci
Tu peux déjà remarquer qu'il n'est pas nécessaire d'examiner les 2 cas à chaque fois car si on remplace x par 1/x et y par 1/y, le quotient est le même.
Si |x| > 1 alors |1/x| < 1 etc...
Ok donc pour tout x différent de 0 il existe un a tel que lxl=l1/al pareil pour lyl=l1/bl et donc tout le a) est démontrer
Donc il reste à montrer une des 2 propriétés du b)...
mais on ne peut plus établir d'inégalité parce que lxl>1 et lyl<1, nan?
Par contre en prenant lxl<1 et lcl<1 avec c=1/y on arrive à l(x+1/y)/(1+x/y)l<1
ce qui est encore bien loin du résultat cherché...
Prenons le 1er cas, mais le second est similaire.
L'égalité est équivalente à :
(x+y)² < (1 + xy)²
soit (x²-1)*(1-y²)<0
ce qui résulte de l'hypothèse
Dans les exos à valeur absolue, il est souvent astucieux d'élever au carré.
Merci pour ce conseil fort utile!!Envoyé par Jeanpaul
