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Inégalité triangulaire?



  1. #1
    Eogan

    Inégalité triangulaire?


    ------

    Bonjour,
    J'ai un exerxice qui avait l'air assez facile au départ mais qui me pose problème à présent:
    Montrer que pour tout réel x et y tel que xy différent de -1:
    (a) (lxl<1 et lyl<1) ou (lxl>1 et lyl>1) implique l(x+y)/(1+xy)l<1
    (b) (lxl<1 et lyl>1) ou (lxl>1 et lyl<1) implique l(x+y)/(1+xy)l>1

    Alors pour le début du a) j'ai pensé à utiliser l'inégalité triangulaire avec succés mais pour toute la suite ça ne marche pas!!!
    Quelqu'un aurait une piste à me fournir?
    Merci

    -----

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  4. #2
    Jeanpaul

    Re : Inégalité triangulaire?

    Tu peux déjà remarquer qu'il n'est pas nécessaire d'examiner les 2 cas à chaque fois car si on remplace x par 1/x et y par 1/y, le quotient est le même.
    Si |x| > 1 alors |1/x| < 1 etc...

  5. #3
    Eogan

    Re : Inégalité triangulaire?

    Ok donc pour tout x différent de 0 il existe un a tel que lxl=l1/al pareil pour lyl=l1/bl et donc tout le a) est démontrer
    Donc il reste à montrer une des 2 propriétés du b)...
    mais on ne peut plus établir d'inégalité parce que lxl>1 et lyl<1, nan?
    Par contre en prenant lxl<1 et lcl<1 avec c=1/y on arrive à l(x+1/y)/(1+x/y)l<1
    ce qui est encore bien loin du résultat cherché...

  6. #4
    Jeanpaul

    Re : Inégalité triangulaire?

    Prenons le 1er cas, mais le second est similaire.
    L'égalité est équivalente à :
    (x+y)² < (1 + xy)²
    soit (x²-1)*(1-y²)<0
    ce qui résulte de l'hypothèse

    Dans les exos à valeur absolue, il est souvent astucieux d'élever au carré.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Eogan

    Re : Inégalité triangulaire?

    Citation Envoyé par Jeanpaul
    Dans les exos à valeur absolue, il est souvent astucieux d'élever au carré.
    Merci pour ce conseil fort utile!!

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