Inégalité Triangulaire ... enfin presque

[Dydo]

Bonjour à tous, je me retrouve avec un petit problème sur un exercice qui, je pense, doit pouvoir se faire en transformant un peu l'inégalité et en se servant de l'inégalité triangulaire, voici :



Je ne trouve pas comment faire pour tomber facilement dessus; j'ai donc essayé à l'arrache en repassant par la forme trigonométrique des deux complexes, et je tombe sur :



Et là et ben ... je sais pas si ça implique vraiment le résultat recherché, et j'arrive pas à m'en sortir :s Je pense que oui vu que les modules sont positifs ou nuls mais ... je n'arrive pas à le prouver rigoureusement, et je suis quasiment certain qu'on peut montrer ça beaucoup plus élégamment

Merci pour votre aide ( c'est la rentrée, ça se sent :þ )
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[invitec053041c]

Bonjour.

Tu peux identifier le module à la norme euclidienne engendrée par le produit scalaire, et ramener |u|² à (u.u) (scalairement).
Ca te simplifiera des choses.

[invitebfd92313]

Tu peux pouver l'existence de deux nombres complexes z et z' vérifiant : u=z+z' et v=z-z'
En réécrivant ton inégalité en fonction de z et z' tu obtiens une autre inégalité équivalente qui se démontre avec l'inégalité triangulaire.

[Dydo]

Bonjour.

Tu peux identifier le module à la norme euclidienne engendrée par le produit scalaire, et ramener |u|² à (u.u) (scalairement).
Ca te simplifiera des choses.

Je prend donc le carré scalaire d'un complexes pour avoir le carré de son module ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Je prend donc le carré scalaire d'un complexes pour avoir le carré de son module ?

Parle en vecteurs, plus en complexes.
Tu identifieras la formule à la fin.

[Dydo]

Si j'ai bien saisit, ça me donnerait :

( car tout ceci est positif )

C'est ce que tu voulais dire ?

[inviteeac53e14]

Salut!

Plus simplement : pose a=u+v et b=u-v.

A quoi est égal |a+b| ? |a-b| ?
Par quoi peux-tu majorer |a+b| ? |a-b| ?

Cordialement, Dimitri.

[Dydo]

Ha oui merci beaucoup ! :þ On peut aussi faire :





D'où :



Mais juste une question ... l'égalité que j'ai trouvée, dans mon premier post, elle n'implique pas celle ci ? Même dans le cas où ils sont tous positifs ?

[inviteeac53e14]

Ha oui merci beaucoup ! :þ On peut aussi faire :





D'où :

Oui bien vu.
Mais remarque au passage que ma méthode est strictement équivalente.

Mais juste une question ... l'égalité que j'ai trouvée, dans mon premier post, elle n'implique pas celle ci ? Même dans le cas où ils sont tous positifs ?

En fait non car l'inégalité que tu trouves n'apporte aucune information. En effet, il te suffit de remarquer que :


Tu vois bien que ton inégalité est donc triviale ; si on suit ton raisonnement, on devrait retrouver l'inégalité recherchée en utilisant le fait que


Dimitri.

[Dydo]

Mouarf ouki, merci beaucoup à tous