modules de complexes (inégalité triangulaire)
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modules de complexes (inégalité triangulaire)



  1. #1
    invite87a1ce41

    modules de complexes (inégalité triangulaire)


    ------

    Bonjour,

    j'aimerais savoir comment on démontre que |z+z'| est inférieur ou égal |z| + |z'|

    merci de votre aide

    -----

  2. #2
    invite39dcaf7a

    Re : modules de complexes

    C'est une inégalité triangulaire, donc c'est une démo semblable à celle des côtés d'un triangle, par exemple...

  3. #3
    GuYem

    Re : modules de complexes

    Si tu ne veux pas voir ça géometriquement, tu poses , tu calcules et tu vois bien ce que ça donne.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #4
    invite87a1ce41

    Re : modules de complexes

    bah ouais, mais comment on prouve que Racine de ( a²+b² ) + racine de (a'²+b'² ) est supérieur à racine de ( ( a+a' )² + ( b+b' )² ) ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitec314d025

    Re : modules de complexes



    En une ligne, c'est un peu indigeste ...

  7. #6
    invite87a1ce41

    Re : modules de complexes

    ah ouais quand même. Bon bah vu que mon prof n'a pas fait cette démo là, j'imagine : soit que c'est admis, soit qu'il y a une manière plus simple de le prouver

  8. #7
    invitec314d025

    Re : modules de complexes

    Je l'ai écrit de manière très indigeste, mais si tu regardes en détail, tu verras qu'il n'y pas de grosse difficulté. On peut faire l'équivalent avec la proposition de GuYem.
    Tu verras notamment que la seule inégalité à montrer est:

    que j'ai appliqué ici à

  9. #8
    invite1f6fb00d

    Smile Re : modules de complexes (inégalité triangulaire)

    voici ma démo.
    On part de l'inégalité Re(zz'*) <= |zz'*|=|z|.|z'*|=|z|.|z'|
    Re(zz'*) <= |z|.|z'| <==> (zz'* + z*z')/2 <= |z|.|z'|
    <==> zz'* + z*z' <= 2|z|.|z'|
    <==> |z|² + zz'* z*z' + |z'|² <=> |z|² + 2|z|.|z'| + |z'|²
    <==> zz* zz'* + z*z' + z'z'* <==> (|z| + |z'|)²
    <==> (z + z').(z* + z'*) <==> (|z| + |z'|)²
    <==> |z + z'|² <==> (|z| + |z'|)²
    <==> |z + z'| <==> |z| + |z'|
    CQFD.

  10. #9
    invite1f6fb00d

    Re : modules de complexes

    voici ma démo.
    On part de l'inégalité Re(zz'*) <= |zz'*|=|z|.|z'*|=|z|.|z'|
    Re(zz'*) <= |z|.|z'| <==> (zz'* + z*z')/2 <= |z|.|z'|
    <==> zz'* + z*z' <= 2|z|.|z'|
    <==> |z|² + zz'* z*z' + |z'|² <=> |z|² + 2|z|.|z'| + |z'|²
    <==> zz* zz'* + z*z' + z'z'* <==> (|z| + |z'|)²
    <==> (z + z').(z* + z'*) <==> (|z| + |z'|)²
    <==> |z + z'|² <==> (|z| + |z'|)²
    <==> |z + z'| <==> |z| + |z'|
    CQFD

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