[Spé] Groupes cycliques

[invitec053041c]

Bonsoir à tous.

Je sollicite vos lumières sur un point d'une démonstration qui m'échappe et qui doit certainement être élémentaire.

On veut montrer: tout sous groupe d'un groupe cyclique est cyclique.

A un isomorphisme près, on se place dans Z/nZ={0*,...,(n-1)*}

Soit H un sous-groupe qu'on suppose non réduit à {0*}.

On prend k le plus petit élément de H.

On prend x appartenant à H (égal ou pas à k, peu importe):

Alors par division euclidienne x=qk+r avec 0=<r<k
Donc x*=q(k)*+r*
AInsi r*=x*-q(k)* appartient à H par soustraction d'éléments de H.

De là, la démonstration déduit directement r=0.
Et je ne vois pas vraiment pourquoi...

Merci de vos réponses,
François.
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[Médiat]

Alors par division euclidienne x=qk+r avec 0=<r<kDonc x*=q(k)*+r*
AInsi r*=x*-q(k)* appartient à H par soustraction d'éléments de H.

De là, la démonstration déduit directement r=0.
Et je ne vois pas vraiment pourquoi...

Tu n'avais pas choisi k comme le plus petit élément non nul de H ?

[invite9c9b9968]

Bon ta démo manque un point crucial pour être comprise : la définition même de k est floue

En effet, tu veux définir k de façon unique ? Alors tu dois dire que tu prends k le plus petit entier naturel non nul tel que sa classe soit dans H...

Et là je pense que ta conclusion va être évidente, puisque avec r tu exhibes un entier naturel plus petit que k, et qui est tel que sa classe est dans H

EDIT : oh le beau croisement avec papa Mediat

[invitec053041c]

Qu'est-ce que je ferais sans vous Médiat...

Sinon je me demande où utilise-t-on exactement la cyclicité du groupe ? J'imagine que cela réside dans le fait qu'il est isomorphe à Z/nZ et qu'on peut raisonner en terme de divisions euclidiennes.

Merci beaucoup en tout cas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Hello,

tu l'utilises pour ton morphisme.

[invitec053041c]

Merci pour la réponse Gwyddon aussi .

Ma définition de k est totalement bancale en effet, j'ai oublié de préciser k plus petit élément non nul de H (car 0 appartient bien-sûr à H).

tu l'utilises pour ton morphisme

Ok ça marche.

Merci beaucoup.

[invite9c9b9968]

Pas de quoi

Sinon tu peux y aller directement sans morphisme en utilisant les théorèmes de Lagrange je crois.

[invitec053041c]

D'accord je m'y pencherai .

[invite35452583]

Pas de quoi

Sinon tu peux y aller directement sans morphisme en utilisant les théorèmes de Lagrange je crois.

Oui mais il faut d'abord compter.
Qu'est-ce à dire ?
Soit n un "ordre" càd un entier naturel strictement positif, soit G=<x> un groupe cyclique d'ordre m.
Si n ne divise pas m aucun élément d'ordre n (application du théorèlme de Lagrange)
Si n divise m, il existe un certain nombre k(m,n) d'éléments d'ordre n dans G. Ce nombre dépend a priori de m et de n, montrer que celui-ci est indépendant de m (le calcul explicite n'est pas difficile mais on même s'en passer).

Maintenant, soit G un groupe cyclique, H un sous-groupe, il est d'un certain ordre m et ne peut contenir que les éléments d'ordre divisant m. Montrer que les éléments d'ordre divisant strictement m ne sont pas assez nombreux pour "remplir" H qui doit contenir donc des éléments d'ordre exactement égal à m i.e. H est cyclique.