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Groupes cycliques



  1. #1
    Gpadide

    Groupes cycliques


    ------

    Bonjour,
    on me demande de montrer que :
    si a et b ne sont pas premiers entre eux, le groupe (Z/aZ)*(Z/bZ) n'est pas cyclique.

    Mais je ne connais pas de methode, qui, partant d'une hypothese, permette de dire qu'un groupe n'EST PAS monogène, ou si c'est le cas qu'il n'EST PAS de cardinal fini (pour la 2eme methode, je pourrais faire par l'absurde mais pour l'instant je nage un peu...).
    Merci de vos eclaircissement sur ce chapitre obscure !

    -----

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  3. #2
    Gwyddon

    Re : Groupes cycliques

    Salut,

    Bon déjà tu vois qu'il te faut montrer que le groupe n'est pas monogène, puisque de toute évidence il est de cardinal fini. Il te faut donc exhiber un élément dont l'ordre ne soit pas égal au cardinal du groupe (qui est ici ab).

    Exploite bien les hypothèses, et utilises tes théorèmes sur les ordres de groupe
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  4. #3
    Gwyddon

    Re : Groupes cycliques

    Au fait, as-tu résolu ton problème ? Je pensais à un truc tout bête, c'était que finalement tu pourrais raisonner par contraposée.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  5. #4
    Ledescat

    Re : Groupes cycliques

    Gwyddon repasse à l'attaque
    Cogito ergo sum.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    fderwelt

    Re : Groupes cycliques

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Au fait, as-tu résolu ton problème ? Je pensais à un truc tout bête, c'était que finalement tu pourrais raisonner par contraposée.
    Bonsoir,

    Le raisonnement par contraposée, c'est pas équivalent au raisonnement par l'absurde? (je me trompe peut-être):
    (A => B) est équivalent à (non B => non A)
    Autrement dit, pour prouver que si on a A, alors on a B, on montre que si on n'a pas B, alors on ne peut pas avoir A.
    Il me semble que c'est pareil, sauf peut-être que dans le raisonnement par l'absurde on dit qu'on a A mais pas B, et donc qu'on ne peut pas avoir A, d'où contradiction, ce n'est peut-être pas exactement pareil.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  8. #6
    GuYem

    Re : Groupes cycliques

    Citation Envoyé par fderwelt Voir le message
    Bonsoir,

    Le raisonnement par contraposée, c'est pas équivalent au raisonnement par l'absurde? (je me trompe peut-être):
    (A => B) est équivalent à (non B => non A)
    Autrement dit, pour prouver que si on a A, alors on a B, on montre que si on n'a pas B, alors on ne peut pas avoir A.
    Il me semble que c'est pareil, sauf peut-être que dans le raisonnement par l'absurde on dit qu'on a A mais pas B, et donc qu'on ne peut pas avoir A, d'où contradiction, ce n'est peut-être pas exactement pareil.

    -- françois
    Pour moi le raisonnement par l'absurde est une application du fait que la contraposé d'une proposition est équivalente à la proposition :
    - on veut montrer A
    - on suppose non A
    - on arrive à une contradiction. ie on arrive à un proposition de la forme non B où on sait que B est vraie.
    - on a donc montré non A => non B, ie B => A, et comme on sait que B est vraie, on a donc montré A.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  10. #7
    ericcc

    Re : Groupes cycliques

    Je ne suis pas d'accord avec vous. Les deux raisonnements sont distincts. Dans ce cas de figure la contraposée est :
    supposons que G=Z/aZ*Z/bZ est cyclique. Alors a et b sont premiers entre eux.
    Pour montrer cette dernière assertion, on peut utiliser l'absurde (supposons qu'ils ne sont pas premiers entre eux etc.), mais on peut aussi exhiber une propriété équivalente au fait qu'ils sont premiers entre eux. Par exemple Bezout.
    Le raisonnement par l'absurde : supposons a et b non premiers entre eux, et supposons G cyclique, alors j'aboutis à une contradiction. Donc G n'est pas cyclique.

  11. #8
    invité576543
    Invité

    Re : Groupes cycliques

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Je ne suis pas d'accord avec vous. Les deux raisonnements sont distincts. Dans ce cas de figure la contraposée est :
    supposons que G=Z/aZ*Z/bZ est cyclique. Alors a et b sont premiers entre eux.
    Pour montrer cette dernière assertion, on peut utiliser l'absurde (supposons qu'ils ne sont pas premiers entre eux etc.), mais on peut aussi exhiber une propriété équivalente au fait qu'ils sont premiers entre eux. Par exemple Bezout.
    Le raisonnement par l'absurde : supposons a et b non premiers entre eux, et supposons G cyclique, alors j'aboutis à une contradiction. Donc G n'est pas cyclique.
    C'est la même chose que ce que dit Guyem, non?

    Cordialement,

  12. #9
    Ksilver

    Re : Groupes cycliques

    Salut !

    ou tres simplement : si tu note d=ppcm(a,b) < a*b .

    alors les element de Z/aZ x Z/bZ sont au plus d'ordre d :


    tu prend un element (i,j) dans Z/aZ x Z/bZ


    alors d*(i,j)=(d*i,d*j) (d* au sens de la multiplication par un element de Z ...) et comme a|a et b|d, d*i=0 et d*j=0 !

    les element de Z/aZ x Z/bZ sont au plus d'ordre ppcm(a,b), donc ce n'est pas un groupe cyclique.

  13. #10
    ericcc

    Re : Groupes cycliques

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    C'est la même chose que ce que dit Guyem, non?

    Cordialement,
    Je ne crois pas : je ne suis pas un spécialiste de logique, mais le raisonnement par l'absurde suppose que l'on accepte le principe du tiers exclus, et celui par la contraposée ne le nécessite pas. Enfn je pense...

  14. #11
    Ledescat

    Re : Groupes cycliques

    La contraposée c'est montrer non B => non A
    qui est evidemment équivalent à A=>B

    Le raisonnement par l'absurde, c'est juste une manière dé démontrer une implication, c'est-à dire qu'on peut très bien montrer A=>B par l'absurde mais montrer aussi non A=> non B par l'absurde.
    C'est une technique au même titre qu'une disjonction des cas par exemple.
    Cogito ergo sum.

  15. #12
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Groupes cycliques

    Raisonner par l'absurde suppose aussi que non non A implique A, ce qui n'est pas tjrs vrai, donc il faut faire un peu attention.

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  17. #13
    jobherzt

    Re : Groupes cycliques

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Salut,

    Bon déjà tu vois qu'il te faut montrer que le groupe n'est pas monogène, puisque de toute évidence il est de cardinal fini. Il te faut donc exhiber un élément dont l'ordre ne soit pas égal au cardinal du groupe (qui est ici ab).

    Exploite bien les hypothèses, et utilises tes théorèmes sur les ordres de groupe
    ben non, Z/6Z est cyclique et pourtant 2 est d'ordre 3 .....

    la methode de Ksilver est la bonne. d'une maniere generale, PPCM(a,b)=(a*b)/PGCD(a,b). donc si pgcd(a,b) n'est pas egal a 1, PPCM(a,b) est inferieur a a*b, d'ou le resultat.

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