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modélisation d'une courbe



  1. #1
    Elek

    modélisation d'une courbe


    ------

    une question me hante l'esprit depuis un bon moment
    Est-il possible de modéliser une courbe quelconque à partir d'un graphique?
    j'ai cherché avec les dérivées et un peu avec avec les primitives mais mes recherches restent en vains
    si quelqu'un pourait répondre à ma question ça serait simpa, si oui pouvez vous m'expliquer
    PS: je suis en première S

    merci d'avance

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    matthias

    Re : modélisation d'une courbe

    Oui, il y a des moyens. Par exemple prendre un échantillonage de points et faire une interpolation polynomiale (le plus simple mais pas le plus beau est de relier les points par des segments de droites).

  4. #3
    ginkoTA

    Re : modélisation d'une courbe

    Je suppose que par modéliser, tu considères trouver une fonction approchée et connue ?

    Ta courbe est bien monovaluee ?

    Dans ce cas, on peut approcher toute fonction par un polynome. PLus le degre sera important, plus l'approximation aura des chances d'etre meilleure. Valeur moyenne pour un polynome de degre 0, Approximation lineaire pour un polynome de degre 1...
    Pour un polynome de degre n, on pourra ainsi s'assurer de passer par n+1 points de la courbe (tu peux faire une recherche à polynome d'interpolation).

    Plus généralement, pour un voisinage de a (pour x "suffisamment proche" de a et une courbe suffisamment régulière en ce point (c'est a dire dont la fonction associee est indefiniment derivable), on aura :



    avec dérivée nieme de f en a.

    Pour la modélisation, on coupera cette série en se limitant à


    N devant être bien choisi.

  5. #4
    domlefebvre

    Re : modélisation d'une courbe

    Toujours avec quelques points du graphique, tu peux utiliser également la méthode des moindres carrés... A trouver dans n'importe quel bouquin d'analyse numérique ou dans les TP de physique. En effet, les physiciens expérimentateurs adoraient (maintenant les ordinateurs font ça pour nous) cette méthode, qui est toujours enseignée en physique.

  6. #5
    domlefebvre

    Re : modélisation d'une courbe

    Pour compléter, si besoin, la réponse de ginkoTA, il existe tout un tas de méthodes d'approximations polynomiales. Elles ont toutes un inconvénient majeur: elles n'approximent que des fonctions linéaires... Lorsqu'on veut approximer des fonctions non linéaires, soit on fait l'impasse et on linéarise (i.e on fait une approx polynomiale, ce que les physiciens font souvent : songe à l'approx des petits angles dans l'équation du pendule) soit on utilise des méthodes plus barbares d'analyse numérique.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ginkoTA

    Re : modélisation d'une courbe

    Citation Envoyé par domlefebvre
    elles n'approximent que des fonctions linéaires....
    ???
    Fonctions simples, d'accord. Nécessité de se limiter à un sous domaine fini du domaine de définition, peut-être.
    Mais où serait l'intérêt d'approximer une fonction linéaire ?

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  10. #7
    domlefebvre

    Re : modélisation d'une courbe

    heu, non... La simplicité de la fonction n'a rien à voir la dedans. C'est quoi d'ailleurs une fonction simple?.

    Je voulais dire qu'une approximation polynomiale ne peut être apliquée qu'à une courbe (celle à approximer) que l'on suppose être polynomiale.
    Le terme "linéaire" est peut être malheureux mais c'est le terme usité chez les physiciens numériciens, pardon donc pour l'imprécision.

  11. #8
    ginkoTA

    Re : modélisation d'une courbe

    OK. Pour moi, linéaire, c'était linéaire, je ne comprenais donc pas bien...
    Par "simple" je n'entends rien de bien précis, mais au moins une fonction continue, voire dérivable un grand nombre de fois.
    Par exemple, une fonction dévelopable en seérie entière sur R tout entier est agréable à modéliser !

    Le problème de l'interpolation polynomiale, c'est que, si on passe bien par les points voulus, si l'on impose aussi d'avoir la pente souhaitee en ces points (ce qui est préférable), le polynome interpolateur peut faire ce que bon lui semble entre les points imposés. (ce qu'il peut vu son degré).

  12. #9
    matthias

    Re : modélisation d'une courbe

    Citation Envoyé par domlefebvre
    Je voulais dire qu'une approximation polynomiale ne peut être apliquée qu'à une courbe (celle à approximer) que l'on suppose être polynomiale.
    Ca dépend de ce que tu veux faire et du domaine sur lequel tu travailles. Sur [0;1] par exemple, n'importe qu'elle fonction continue s'approxime correctement avec des polynômes. Sur R ça ne marche pas évidemment.

  13. #10
    domlefebvre

    Re : modélisation d'une courbe

    Tu as tout à fait raison. Je tentais de rester au sujet posé, soit comment trouver l'équation d'une courbe à partir d'un tracé graphique que je suppose être expérimental.
    Dans ce domaine précis, il me semble que la régression linéaire (ou exponentielle, ou toute autre régression applicable) soit la meilleure technique applicable. Les autres techniques d'AN comme les différents polynômes d'approx dépassent un peu ce stricte domaine d'application.

  14. #11
    Elek

    Re : modélisation d'une courbe

    okay je vais faire ce que je pourrais
    merci beaucoup

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