Energie cinétique d'une boule en rotation

[invite7553e94d]

Bonjour à toutes et à tous.

Je me suis essayé au calcul de l'énergie cinétique d'une boule de rayon et de masse volumique en rotation autour d'un de ses axes de symétrie à une vitesse angulaire .

J'ai trouvé . Est-ce correct (les unités collent) ? Si non je détaillerai mes calculs.

Merci à vous.
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[invitec053041c]

Bonjour.

C'est bien homogène à une énergie, mais pour ma part je n'ai pas la même chose.
Parles-tu bien d'une boule et non d'une sphère ?

Car pour une boule, j'ai le moment d'inertie par rapport à tout axe passant par le centre qui vaut 2/5.mR²

Et donc


Toi tu as (en passant par m au lieu de rho)


Mais je peux me tromper.

[Calvert]

Salut!

Ledescat a raison, le moment d'inertie d'une boule homogène est de et celui d'une sphère (boule infiniment mince) est de . Tu as donc fait une erreur quelque part.

[invite7553e94d]

J'ai bien fait une erreur de calcul, mais même en la corrigeant j'arrive à

Je vais donc détailler mes calculs :

1. Energie cinetique d'un tore élémentaire de secion e de rayon r
   Un tore élémentaire a pour section un disque qui peut être confondu avec carré pour des dimensions infinitésimales : où est le rayon dudit tore et sa hauteur (ie. la hauteur de sa projection sur un plan contenant son axe de révolution).
   avec et
   Ainsi,
   
   
2. Energie cinétique d'un disque de rayon
   Le disque de hauteur et de rayon est l'ensemble des tores élémentaires de hauteur et de rayon inférieur à . D'où :
   .
   Ainsi,
   
   
3. Energie cinétique de la boule
   La boule de rayon est l'ensemble des disques de hauteur et de rayon . D'où :
   
   Ainsi,
   La masse de la boule étant , on trouve .

Merci de m'éclairer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Calvert]

Il y a effectivement encore une faute:

1 et 2, d'accord;

Pour le point 3):






où j'ai corrigé un terme à la première ligne (le h² devient un h³). Et cette fois, en réinsérant la masse à la place de la masse volumique, on trouve bien le 2/5.

[invite7553e94d]

Merci beaucoup ! le est une erreur de copie, concernant les 16/15 ... j'ai commis la faute d'oublier le 1 au dénominateur

Pour faire propre (ça servira peut-être), voici le calcul corrigé :

Calcul de l'énergie cinétique d'une boule de rayon et de masse volumique en rotation autour d'un de ses axes de symétrie à une vitesse angulaire .

1. Energie cinetique d'un tore élémentaire de secion e de rayon r
   Un tore élémentaire a pour section un disque qui peut être confondu avec carré pour des dimensions infinitésimales : où est le rayon dudit tore et sa hauteur (ie. la hauteur de sa projection sur un plan contenant son axe de révolution).
   avec et
   Ainsi,
   
   
2. Energie cinétique d'un disque de rayon
   Le disque de hauteur et de rayon est l'ensemble des tores élémentaires de hauteur et de rayon inférieur à . D'où :
   .
   Ainsi,
   
   
3. Energie cinétique de la boule
   La boule de rayon est l'ensemble des disques de hauteur et de rayon . D'où :
   
   Ainsi,
   La masse de la boule étant , on trouve .

[invitec053041c]

où j'ai corrigé un terme à la première ligne (le h² devient un h³).

Quel oeil .