Complexes : prouver que deux nombres sont distincts

[invite18c9da69]

Je cherche a prouver que deux nombre complexe sont distincts :
Soit A une nombre complexe non réel
conj(A) son conjugué
j=e^((i2Pi)/3)
u est une racine cubique de A
Re(u) = partie réelle de u
Prouver que u+conj(u) et ju+j² conj(u) sont distincts

J'ai essayer de raisonner par l'absurde en les suposant égaux, puis de chercher une contradiction, je suis arrivé a Re(u-ju)=0 ou a Re(u)=Re(ju) mais je n'ai jamais trouvé de contradiction, est-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer comment procéder ou au moins si j'utilise la bonne méthode.
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[Gwyddon]

Salut,

Ton idée de raisonnement par l'aburde est très bonne, c'est la suite qui pêche un peu

D'abord il y a une erreur de recopie de l'énoncé, en effet la définition de j c'est .

Ensuite, pas besoin de partie réelle quelque part

Enfin, souviens-toi des relations que tu connais sur j, notamment sur la somme de ses puissances, et n'oublie pas que u³=A avec A non réel

[invite18c9da69]

Pourtant dans mon cours j'ai bien vu que j est une racine cubique de 1.
Et pour les relations entre j et les puissance de j j'ai essayer de me servir de 1+j+j²=1 mais a cause du conjugué de u je n'est pas pu factoriser. Sinon j'ai utilisé j²=conj(j) mais ca ma mené justement aux parties réelle et imaginaire.

[Gwyddon]

Oui tu as raison j'ai dit de la merde en boîte pour j

Par contre ta relation sommatoire est fausse, c'est 1+j+j²=0, avec ça je pense que ça ira mieux

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite18c9da69]

Ah oui je me suis trompé pour la formule somatoire, je vais reessayer avec ca!

J'arrive a 2 Re (u) = -j², c'est bon j'ai ma contradiction nan?
Par contre je ne vois pas comment obtenir de contradiction sans se servir de la partie réelle pour transformer u + conj(u) en 2Re(u).

[invite18c9da69]

Ah non en fait j'ai fait une erreur de calcul, je n'arrive pas a ça mais a u-conj(u) j = 0

[invite18c9da69]

Désolé pour les réponse de suite, mais je ne peux pas éditer mon message.
En fait j'arrive a u= conj(u) j
ce qui implique u^3= (conj (j))^3 or A et conj(A) sont distincts donc il y a contradiction, c'est juste ou pas?

[Gwyddon]

Yep, c'est exactement ça

[invite18c9da69]

Merci beaucoup pour ton aide, j'étais parti pour chercher très longtemps sans trouver (je tenais a ma partie réelle alors qu'elle ne sevait a rien)!!!