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Prouver que deux axes de symétries sont perpendiculaires ?




  1. #1
    shokin

    Prouver que deux axes de symétries sont perpendiculaires ?

    Salut tout le monde,

    tout est dans le titre : j'aimerais savoir comment prouver que :

    si une figure - dans le plan - a deux axes de symétrie, alors ceux-ci sont perpendiculaires.

    Et de manière générale, par la suite :

    si une figure - dans le plan - a n axes de symétrie, alors ceux-ci s'inclinent de pi/n de l'un au suivant.

    J'ai essayé d'exprimer en termes de vecteurs et de coordonnées dans un repère orthonormé dans le plan.

    Merci d'avance.

    Shokin

    -----

    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  2. Publicité
  3. #2
    zoup1

    Re : Prouver que deux axes de symétries sont perpendiculaires ?

    Je pense qu'en disant que "le symétrique d'un axe de rotation doit également être axe de symétrie" tu devrais arriver à la conclusion énoncée...
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  4. #3
    invité576543
    Invité

    Re : Prouver que deux axes de symétries sont perpendiculaires ?

    Une symétrie doit laisser l'ensemble des axes de symétrie invariant.

    Si tu n'en a que deux, chaque symétrie doit laisser l'axe de l'autre invariant. Or les seules droites laissées invariantes par une symétrie (les sous-espaces propres) sont son propre axe et la droite perpendiculaire...

    Si tu en a plus que deux, il y a en au moins deux qui font un angle inférieur à pi/2.

    Mais si deux symétries ont des axes non perpendiculaires, la combinaison des deux est une rotation d'angle de double de l'angle entre les axes. Et cette rotation doit laisser invariant l'ensemble des axes. Chaque axe va engendrer par cette rotation autant d'axes que l'ordre de la rotation.

    Faut compléter, mais c'est en gros l'idée.

    Cordialement,


  5. #4
    shokin

    Re : Prouver que deux axes de symétries sont perpendiculaires ?

    Merci pour vos réponses !

    (j'me suis compliqué la tâche, à vouloir tout exprimer en coordonnées et vecteurs )

    J'imagine que c'est tout à fait similaire pour les symétries planaires dans l'espace (et pour les symétries "de dimension n" dans un "référentiel" de dimension n+1 ; bon, je n'ai peut-être pas le vocabulaire approprié, mais vous me comprenez ).

    Je vais essayer de m'inspirer de vos astuces pour passer à des symétries centrales (pour commencer, démontrer que - dans le plan - une figure ne peut avoir plus d'un centre de symétrie).

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  6. #5
    invité576543
    Invité

    Re : Prouver que deux axes de symétries sont perpendiculaires ?

    Citation Envoyé par shokin Voir le message
    (j'me suis compliqué la tâche, à vouloir tout exprimer en coordonnées et vecteurs )
    Oui. La théorie de base pour ces problèmes, c'est la théorie des groupes. L'ensemble des symétries d'une figure, en dimension quelconque, forme un groupe pour la composition. Cela, plus quelques propriétés géométriques élémentaires, suffit à répondre à pas mal de questions...

    Cordialement,

  7. A voir en vidéo sur Futura

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