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Projection de somme vectorielle sur deux axes



  1. #1
    sunday-morning

    Projection de somme vectorielle sur deux axes

    Bonjour
    voilà, j'ai un petit problème de physique.
    En effet, nous étudions en ce moment les trois lois de Newton, et nous avons donc besoin de calculer des valeurs de forces. Or, dès que je me retrouve face à un exercice mettant en jeu une réaction du support incliné, où il faut projeter une somme vectorielle sur deux axes, je suis totalement perdue.
    Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer?
    Merci d'avance

    -----


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  3. #2
    marsan09

    Re : projection de somme vectorielle sur deux axes

    toutes les lois concernant les vecteurs restent vraies en projection sur des axes.
    Cela permet de simplifier les problèmes.
    On obtient ainsi une relation pour chaque axe.

  4. #3
    sunday-morning

    Re : projection de somme vectorielle sur deux axes

    OK merci pour l'info, mais le problème est que lorsque le professeur nous demande de déterminer la valeur d'une force F à partir d'un angle a donné, je ne comprends pas en quoi la projection vectorielle permet de répondre à la question.Merci de répondre si vite!

  5. #4
    marsan09

    Re : projection de somme vectorielle sur deux axes

    Envoie la figure avec les relations que tu as trouvées.

  6. #5
    EspritTordu

    Re : projection de somme vectorielle sur deux axes

    Tout dépend du référentiel dans lequel tu évalue la force. Si tu places un repère(2 dimensions, O;x,y) qui sert de cadre pour un référentiel depuis l'axe de la force (l'axe x du repère est confondu avec le vecteur de la force et à même direction), il n'y aura qu'une seule composante (x du repère). Mais en fait, en deux dimensions, il y a bien deux valeurs, même si celle de l'axe y est nulle et négligée implicitement souvent.
    Maintenant, il est courant de choisir un référentiel (et son repère) qui calque ce qui nous est familier, c'est-à-dire qu'on choisit souvent un repère dont l'axe x est à l'horizontal. Se faisant, le référentiel tend à se confondre avec le sol, puis avec le laboratoire... Et on reporte alors toutes les forces modélisées d'un problème par rapport à ce repère. C'est commode pour l'interprétation physique de la mathématique des choses.

    Il serait peut-être bon de griffoner le schéma suivant sur un brouillon trouvé sous la main.
    Un cas simple : soit un repère dans le référentiel "laboratoire", O;x,y. Soit une force F représentée par un vecteur F> modélisant la force physique. C'est un cas didactique mathématique, mais courant; l'origine du vecteur est l'origine du repère O. Ce vecteur forme un angle alpha avec l'horizontal, donc avec le vecteur de base x qui fait parti du repère laboratoire. Si on fait varier la valeur de l'angle alpha, on tracerait un cercle. Prenons par exemple un angle de 30° pour qu'on ait chacun en tête la même figure. Mettons de côté le référentiel "laboratoire" et son repère un instant.
    Choisissons d'évaluer la force F dans son propre référentiel. On place donc un nouveau repère à deux dimensions pour modéliser le référentiel force. Ce repère voit donc son axe x suivre le vecteur de la force et est incliné aussi de 30° par rapport à l'horizontal. L'axe y de notre repère qu'on a sous-entendu orthonormé, se trouve donc à angle droit avec le vecteur F. Dans se repère F a deux valeurs X=|F| et Y qui est nulle.
    Maintenant, on l'a dit ce qui nous intéresse ici, c'est le référentiel du laboratoire dans lequel (on va rapporter toutes les autres éventuelles forces d'un problème si elles existaient, mais ici nous n'en avons qu'une!) on va évaluer la même force, mais par rapport aux éléments de référence du repère laboratoire, c'est-à-dire les vecteurs de bases x et y.
    C'est de la trigonométrie de base ici. Les coordonnées de F dans le laboratoire sont : F(/laboratoire)=Fcos(alpha)x>+Fsi n(alpha)y> . (> pour les vecteurs)(Rigoureusement, il faut toujours indiquer le référentiel (ici le laboratoire), même si pour être plus commode, on le sous-entend (plus on alourdit le calcul là où on peut le simplifier, plus cela laisse la place aux erreurs ; mais lorsque les calculs sont lourds comme en mécanique, par exemple, où c'est courant, la rigueur vous épargne des erreurs, allez savoir!! ; Heureusement les calculs lourds ne sont pas au programme de physique du lycée... mais celui des sciences de l'ingénieur (je crois que cela s'appelle comme çà aujourd'hui.)
    Mais il n'y pas que la trigonométrie. Ici, on a utilisé la trigonométrie car le vecteur était défini avec un angle. Mais un vecteur peut aussi être définit par sa "hauteur" et sa "largeur". On utilise Pythagore. Dans mon exemple, je fais le calcul inverse après avoir trouvé les projections sur x et y du repère laboratoire. Je veux retrouver la valeur de la force F dans son référentiel propre sachant que je ne connais que la hauteur y et la largeur x du vecteur dans le référentiel laboratoire. J'ignore la valeur de l'angle alpha cette fois-ci. Avec Pythagore, la règle dans les triangles rectangles, cela donne : F (/référentiel force)=Racine(X^2+Y^2)
    Et calcul fait, on trouve la même valeur physique mais des valeurs mathématiques différents puisqu'on a évalué celles-ci avec dans deux référentiels différents, avec deux sortes d'étalons différents (les vecteurs x et y des deux repères).
    En somme, c'est un peu comme si tu évaluerais la vitesse d'un corps d'une femme dans une voiture roulant à 90 km/h. Dans la voiture, par rapport à la voiture, le corps est immobile, mais depuis le bord de la chaussée, le passant voit la voiture et la femme bien rouler à 90 km/h.

    J'espère avoir éclairci, un soupçon au moins, les idées!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    sunday-morning

    Re : projection de somme vectorielle sur deux axes

    Et ces vecteurs peuvent avoir des coordonnées négatives, ça ne change pas la méthode?

    Mon cas est le suivant:

    Un skieur de masse m=80kg (équipement compris) descend une piste rectiligne inclinée d'un angle a=12° par rapport à l'horizontale à la vitesse constante de 42 km.h-1.

    L'ensemble des frottements (piste et air) sont modélisés par une force unique f-> opposée au mouvement.

    Le skieur garde une position du corps fixe sur ses skis : on peut le modéliser par un solide en mouvement de translation rectiligne.


    Est-ce que ça signifie que la réaction du support n'est plus la somme de la réaction normale et de la réaction tangentielle mais unquement la réacion normale et qu'on doit compter f-> comme une force à part?
    Si c'est le cas, comment peut-on modéliser les forces agissant sur le skieur pendant la descente et surtout comment calculer la valuer de f->?

    Merci beaucoup d'essayer de m'expliquer.
    Au fait, on dit bien sciences de l'ingénieur!

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  10. #7
    EspritTordu

    Re : Projection de somme vectorielle sur deux axes

    Et ces vecteurs peuvent avoir des coordonnées négatives, ça ne change pas la méthode?
    Absolument. Dans la mesure que tu évalues un vecteur dans un repère, il peut y avoir des projections négatives sur les axes-étalons du repère en question.
    Si tu veux savoir la projection d'un vecteur disons F> sur le vecteur x du repère, tu vas comparer les deux vecteurs. Un vecteur a une direction, une longueur et un sens. Dans mon exemple précédent si F> faisait un angle alpha de 180°, la projection de F> sur les vecteurs de base dans le repère du laboratoire aura une projection nulle sur y> du repère, mais une projection bien négative sur x> puisque l'un et l'autre vont dans un sens inverse. Cela n'est pas choquant, si on garde bien à l'esprit que la valeur trouvée est obligatoirement associée à son repère et son référentiel. En effet, on pourrait jouer les esprits tordus, et utiliser pour le repère du laboratoire un repère non direct où en somme x> au lieu d'aller à droite irait à gauche. Alors, la valeur de la projection de F sur les axes du nouveau repère serait donc positive.
    Toute mesure est liée à une référence, ici on discute sur le sens d'un vecteur.
    Pour reprendre l'analogie avec la voiture et le passant : si le passant marche et regarde le devant de la voiture alors qu'elle se dirige vers lui, alors le passant va conclure, que la voiture est dans le sens inverse de lui. Maintenant si le même passant marche dos au devant de la voiture roulant de la même manière que précédemment, alors, dans son référentiel, celui du passant, il va conclure que la voiture va dans le même sens que lui. Si on prend du recul, la voiture n'a jamais changé de trajectoire et de sens et pourtant on a obtenu deux résultats contradictoires, en apparence seulement. En effet, si on précise dans quel sens se trouve le passant par rapport à la voiture, puisque le passant juge dans son propre référentiel, alors les résultats interprétés sont bien identiques!

    Un skieur de masse m=80kg (équipement compris) descend une piste rectiligne inclinée d'un angle a=12° par rapport à l'horizontale à la vitesse constante de 42 km.h-1.

    L'ensemble des frottements (piste et air) sont modélisés par une force unique f-> opposée au mouvement.

    Le skieur garde une position du corps fixe sur ses skis : on peut le modéliser par un solide en mouvement de translation rectiligne.


    Est-ce que ça signifie que la réaction du support n'est plus la somme de la réaction normale et de la réaction tangentielle mais unquement la réacion normale et qu'on doit compter f-> comme une force à part?
    Si c'est le cas, comment peut-on modéliser les forces agissant sur le skieur pendant la descente et surtout comment calculer la valuer de f->?
    C'est un exercice de cours, n'est-ce pas?
    Dans quel repère va-t-on étudier la scène? celui du skieur? De la piste? Il faut préciser sinon toutes nos valeurs sans référence n'auront pas de significations! On l'a vu précédemment, la valeur peut-être positive, négative, simplement différente en fonction du repère auquel on se référe. Il faut s'en fixer un nécessairement et toujours montrer que nos valeurs sont déterminées avec ce repère! Tous les repères possibles et imaginables sont possibles, certains seront cependant plus évidents à se représenter, d'autres où il sera plus facile à faire les calculs... c'est un choix libre, l'objectif c'est bien d'avoir une conclusion juste.
    Quel est, selon toi, les forces mis en jeu (quel est le bilan des forces?, il en manque entre autre...)?

    Dans tous les cas possibles et imaginables, la force F> de frottement est indépendante de toutes autres forces, c'est bien ainsi quelle est définie. C'est une force en elle-même. On peut imaginer le même modèle physique du skieur et accepter aucune force de frottement, donc F> serait absent. La force de réaction du support, disons R> est totalement distincte de toute autre force et particulièrement de l'éventuelle F>.
    En l'abscence de frottement et de F, la réaction R, comme toute réaction est strictement normale au support (à la piste). Pour la suite on se place dans ce cas et on ne considére pas F pour l'instant. C'est plus simple pour comprendre au début. On refait donc le modèle et son schéma, sans frottement, et avec une réaction R normale à la piste.

    Lorsqu'on dessine les forces sur un schéma, on trace un vecteur pour les représenter. C'est une manière synthétique de modéliser la force. Prenons le vecteur de réaction du Support (de la piste). On l'appelle R> (c'est souvent le cas). En fait, si on prend uniquement que la flèche, car après tout c'est le graphisme d'un vecteur, on est dans le référentiel propre de la force. Mais en vérité, lorqu'on la dessiner, on a intuitivement utilisé ce qui nous familier, le repère du laboratoire ou plutôt ici devrait-on l'appeler le repère terrestre galiléen, ou simplement le repère du sol. On parle bien d'une pente ayant un angle de 12° par rapport à une horizontale sous-entendue, le sol droit... En plus, il est certainement identique à un repère de la feuille, à ses bords : on dessine souvent droit, où le sol est parallèle au bord de la feuille, c'est la cas?. Donc posons un repère O;x,y où on prend x confondu avec le sol horizontal ou le côté supérieur de la feuille, et y (comme c'est un repère orthonormé) perpendiculaire à x et donc parallèle au côté vertical de la feuille. Quand on a dessiné R, ne s'est-on pas dit au fond de nous même : je trace un vecteur , une flèche, inclinée? Mais incliné par rapport à quoi? Oui par rapport au bord de la feuille, à notre repère général de référence, le sol droit, le référentiel terrestre. Ou peut-être, s'est-on dit que je trace une flèche perpendiculaire à la pente, elle-même précédemment dessinée inclinée...C'est le reférentiel de la piste... incliné par rapport au référentiel terrestre. C'est un réflexe bien naturel de trouver un référentiel (et donc de lui associé son pendant mathématique, de lui associer un repère).
    Ainsi, comme nous sommes en deux dimensions, une force aura toujours deux composantes. Dans le référentiel propre de la force R, une composante sera nulle, et donc on peut considérer grossièrement (et maladroitement) que la force à une seule composante R. Si on se place dans le référentiel terrestre, c'est-à-dire un repère "droit", parallèle à la feuille, ou faisant un angle de 12° avec la pente, les deux composantes de R apparaîteront de manière plus évidente (les deux ne sont plus nulles). On peut géométriquement déterminer les composantes x et y de R dans se repère en utilisant les angles et finalement la trigonométrie, tu voies bien la chose?
    Maintenant, on peut aussi définir les composantes de R dans un autre référentiel, celui du skieur en mouvement : le vecteur x> du nouveau repère sera confondu avec le centre de gravité G du skieur (considéré comme un bloc solide), parallèle donc à la piste, et disons qu'on le dirige dans le sens de déplacement supposé (dans le référentiel terrestre ou un référentiel de la piste) du skieur, c'est-à-dire vers le bas. (Objectivement, on pourrait faire l'inverse mathématiquement. Mais notre intuition, ici dans ce relativement simple modèle, nous laisse deviner que le skieur se dirige vers le bas. Je choisis moi même bien mon référentiel et mon repère pour éviter de compliquer la représentation que je peux m'en faire (et souvent on évite les erreurs de calculs: si on inverse, la vitesse serait négative d'où une plus difficile représentation et un moins dans les calculs se perd souvent! : c'est un choix personnel). Mais il vrai que lorsque cela se complique la représentation intuitive a due mal à suivre et on se laisse alors guider par l'appareil mathématique. Mais ici, le modèle représente une situation commune et donc intuitive. Utilisons-la donc.) Le vecteur y du repère piste est perpendiculaire à la pente.
    Nous sommes sans F, sans frottement et dans ce repère du skieur la réaction est bien normale au support. A noter au passage que le point d'accroche de la réaction est au point G et n'est pas au contact direct de la piste alors qu'il s'agit d'une force due à la piste (et à la gravité accessoirement). Cela s'explique par le fait que le skieur est modelisé par un bloc solide indéformable qui transmet la force purement (sans perte). Donc mettre R au niveau de G ou au niveau de la piste, dans ces conditions, revient au même...
    Il est aussi à noter que le repère et le référentiel skieur paraït identique au repère propre de R. Dans ce repère le vecteur x porte la réaction tangentielle à la trajectoire du repère et donc du skieur (c'est ici une droite parallèle à la pente) et le vecteur y, la composante normale de la réaction. Il n'y pas de frottement, donc il n'y a pas de f, pas de réaction tangentielle (elle est nulle) et uniquement une réaction normale. Dans ce cas, ces qualificatifs tangentiel et normal sont même superflus. Cela change si on considère les frottements dans notre modèle.

    En mécanique classique, on modélise les frottements en trois groupes : les frottements sec (ou de Newton), les frottements visqueux et les frottements aérodynamiques. Ce sont les frottements secs qui sont mis en jeu ici. Les autres frottements concernent les mouvements dans les fluides et ne sont pas au programme du lycée je crois (et c'est bien comme cela!). En effet, ces frottements induisent des forces qui sont fonctions de la vitesse de l'objet en mouvement dans un fluide. C'est toute une autre histoire presque!
    Le frottement sec, qui nous intéresse ici, c'est le frottement qui ne concerne pas les fluides (d'où son nom...) et modélise la force qui s'oppose au mouvement d'un objet sur un autre. C'est en clair une solution pour représenter l'ensemble des irrégularités entre les surfaces en contact, qui à notre échelle, semblent lisses, mais sont en réalité très irréguliéres au niveau microscopique. C'est comme si des petits crochets tendaient à s'agraffer entre les surfaces. Le modélisation de ces frottements, très macroscopique avec la mécanique classique, permet d'expliquer pourquoi une éponge ou un pneu (très irrégulièrs) ne glisseront pas sur un plan incliné glacé alors qu'un cube de glace naturellement glissera sans peine.
    Qu'est-ce qui change avec la modélisation sans frottement précédente? On introduit la force F parallèle à la piste et issue du point G du skieur. On se focalise dans le référentiel du skieur et son repère (G,x,y). On avait une réaction de base R portée par les y. On y ajoute la force F portée sur x et comme on veut qu'elle s'oppose au mouvement dans le sens de x, elle est donc orientée en sens inverse de x (La force x est donc négative dans notre repère orienté). La somme de la réaction de base R et F, définit une nouvelle réaction particulière (et donc un vecteur), une réaction plus réaliste, qu'on appelle, pour soulever toute ambiguité, Réaction de frottement Rf. En fait, ce qu'on vient de faire, c'est définir un vecteur de réaction avec sa largeur et sa hauteur, sa composante tangentielle (vecteur f) et sa composante normale (vecteur R). Donc en résumé la réaction de base (sans frottement) R et la force F (de contact entre surfaces les skis et la piste, l'air n'est pas pris compte c'est un fluide et on néglige la force induite) donne la réaction pseudo-réelle Rf qui est inclinée dans notre repère vers l'arrière du skieur. D'ailleurs, l'angle formé entre la réaction de base R et la réaction pseudo-réelle Rf détermine le coefficient de frottement spécifique entre les surfaces mis en jeu, ici les skis et la piste, celui-ci est déterminé expérimentalement et se trouve dans des abaques.

    Dans ton exercice, on spécifie que le skieur ne peut dépasser une certaine vitesse, cela est due au fait des forces de frottements entre surfaces. Pour info, les frottements dissipent l'énergie du mouvement en énergie thermique de la même manière que les machoires des freins du vélo ou des voitures. Cela a pour conséquence de freiner le mouvement. Le but de l'exercice, si je comprends bien est de déterminer, la composante tangentielle de la réaction pseudo-réelle, c'est-à-dire la force f (où la composante tangentielle de Rf) qui freine le skieur à 42 km/h.
    Selon une des lois de Newton, La somme des forces appliquées sur le skieur vaut l'accélération du skieur fois sa masse : d'où (finalement je fais implicitement le bilan des force) P>+Rf>=a>*m(skieur) (eq. 1). P est le poids du skieur due à la gravité. C'est un vecteur accroché sur le point de gravité du skieur G et qui est vertical par défaut dans le répère terrestre.
    On veut trouver F>. Si on suit mon discours, cela signifie qu'on doit trouver Rf donc Rf>=a>*m(skieur)-P> selon (eq. 1) or Rf>=F>+R> d'où F>=a>*m(skieur)-P>-R> (eq. 2). C'est l'équation attendue par le professeur sans doute, mais il faut l'avouer qu'il est plus simple et compréhensif de présenter les frottements et donc passer par Rf pour se faire une représentation physique. Les professeurs de physiques sont souvent des mathématiciens et présentent leurs exercices sous forme mathématique quitte parfois à ce que l'exercice didactique tant en mathématique qu'en physique n'en devienne plus compliqué qu'il ne faut et inaccessible et certainement pas les plus adéquates pour expliquer une chose relativement simple. En sciences de l'ingénieur, et en mécanique avant tout, on passe par Rf (car c'est la véritable déduction du modèle : c'est plus logique quoi qu'en dise les mathématiciens : n'oublions pas que c'est de la physique avant tout chose !).

    Dès los qu'on a eq. 2, il n'y a plus qu'à résoudre. Qu'est-ce qu'un vecteur? c'est un objet à deux composantes (modèle en deux dimensions). Il faut projeter le vecteur F> sur les vecteurs de base x et y d'un repère précisé pour avoir la valeur de ces composantes. On a choisi le repère du skieur (G,x,y). on exprime tous les vecteurs de eq. 2 sur x et sur y et on résout le système de deux équations. Place à la trigonométrie.

    A défaut de poursuivre, faute de temps, je te laisse sur la lancée. Si tu as encore quelque difficultés, n'hésite pas!

  11. #8
    EspritTordu

    Re : Projection de somme vectorielle sur deux axes

    Je suis allé un peu vite sur la fin. Maintenant il faut rassembler et donc projecter les différentes forces mises en jeu sur le système "skieur". Deux équations, une sur x et une sur y de notre repère skieur. L'accélération a est aussi encore une inconnue à cet étape. C'est un futur vecteur a dont les composantes projetées sur notre repère skieur sont ax et ay. C'est un grand pas vers la conclusion d'avoir ces deux équations.
    Mais à ce niveau, il faut s'interroger si l'énoncé considère F, la force de frottement, comme une constante ou bien comme une fonction F(t).
    Raisonnablement, si on considère les frottements secs, c'est nécessairement une constante F puisque cette force s'explique uniquement entre la nature entre les matériaux en contact (les skis et la piste) (dont d'ailleurs on considère uniforme sur tout le long de la course : c'est une simplification, n'oublions qu'il s'agit seulement d'un modèle). Ce couple de matériaux ne change pas, donc F est constante. Cette petite analyse nous fait dire que pour le skieur ait une vitesse constante, il faut qu'il ne subisse aucune accélération, donc que l'ensemble des forces que subit le skieur soit nul, que a soit nulle tout comme ses composantes. Si il n'y a aucune accélération, la vitesse sera constante.
    Je me souviens d'un exercice un peu mesquin comme semble être celui-ci : en effet, on indique une valeur de vitesse qui, si on considère F comme constante, est une information trompeuse, seul le mot constant est utile. Pour comprendre le scénario de la scène, il faut donc accepter que le skieur a acquis une vitesse de 42 km/h d'une manière ou d'une autre précédemment. Cela n'est pas précisé. Peut-on imaginer (cela n'engage que moi) qu'il a acquis cette vitesse (qu'il a accéléré) en poussant sur les bâtons sur le plat avant la piste...). Arrivé à la piste, la neige différente constitue une source de frottement. Quel est ce frottement? Si le frottement est trop faible, le skieur accélérera un peu dans la pente, s'il est trop fort, le skieur s'arrêtera (et même il peut remonter la piste, mathématiquement! Mais physiquement l'intuition l'interdit!). Il faut donc trouver la valeur du frottement pour lequel l'accélération due à la gravité dans la pente est précisement compensée par les frottements. C'est l'objet des 2 équations issues de la loi de Newton.

    Maintenant, on peut effectivement envisager que F n'est pas constante. En considérant les frottements secs on a mis de côté l'effet de l'air précisé. Effectivement en intégrant les équations de projection des forces et de l'accélération (car en effet la vitesse c'est la somme de toute les accélérations sur un temps donné ; l'intégration somme sur des quantités infinitésimales donc plus justes qu'une somme algébrique classique ; l'intégration des composantes de a donne celles de v), on peut obtenir la vitesse et une fonction du temps t pour f. Mais il faut l'avouer, cela n'a pas beaucoup d'intérêt physique, ce n'est qu'un jeu mathématique qui d'ailleurs est un peu trompeur puisque les effets de l'air sont en réalité, non pas fonction du temps mais de la vitesse du mouvement (c'est ainsi qu'ils sont modélisés je crois). Les frottements visqueux ou aérodynamiques expliquent par exemple pourquoi les ballons d'air remontent à la surface sous la poussée d'archimède dans l'eau à une vitesse fixe : où les frottements visqueux et aérodynamiques compensent exactement l'accélération d'Archimède.... En effet, ils démarrent lentement accélérent puis se fixent à une vitesse constante.
    A mon sens, l'exercice a beaucoup plus d'intérêt à dire que F est constante et à présenter la modélisation des frottements secs. Au lycée, on se limite à présenter les seulement ces frottements (C'était le cas pour moi). Les autres frottements exigent l'utilisation d'équations différentielles qu'on apprend après la terminale (heureusement que c'est pas dans le bac soit s'en sûre et rassurée Les équations différentielles représente la seconde étape!).

  12. #9
    EspritTordu

    Re : Projection de somme vectorielle sur deux axes

    Ah ces cinq minutes d'édition pour le message : c'est trop court!

    Je voulais ajouter que cela n'a pas beaucoup d'intérêt d'autant plus parce que f comme fonction du temps ne met pas en evidence les causes qui ont conduit à la fonction, c'est à dire les frottements non secs. Pour un exercice didactique et même pour une présentation, c'est pas cadeau!

  13. #10
    sunday-morning

    Re : Projection de somme vectorielle sur deux axes

    OK OK merci beaucoup pour cette aide, vous m'avez tirée d'un mauvais pas!
    Je commence à comprendre le principe, avec un peu d'entraînement je pense y arriver.
    Encore merci et joyeuses fêtes!

  14. #11
    EspritTordu

    Re : Projection de somme vectorielle sur deux axes

    Merci! Bonne année 2008 (en méca?)

  15. #12
    sunday-morning

    Re : Projection de somme vectorielle sur deux axes

    Euh non, en SSVT

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