demande d'explication dévellopement limité

[invite23e9ad8d]

Bonsoir!
Je suis en pleines révisions Pour un devoir que je vais avoir très prochainement et aujourd'hui j'ai entamé la révision sur les développements limités: et je bloque sur certains, soit que je ne comprend pas, soit que je ne connais pas.

Et j'aimerais savoir si Tout les développements limités sont issus de la formule de Taylor mac laurin et donc sont de forme, au voisinage de 0:
f(x)= f(0) + xf'(0)+(x²/2!)f²(0)+...+ (xⁿ/n!)fⁿ(0)?

par exemple (1+x)^a je n'arrive pas à l'écrire selon la formule Taylor mac Laurin est ce parce que en fait il faut juste les connaitre "par cœur" ou est ce qu'il y a un moyen de l'obtenir qui soit en rapport avec les formules de Taylor.
je vous remercie d'avance pour vos réponse et vous souhaite un agréable week end!
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[invitec317278e]

Pour toute fonction de classe , on peut obtenir un DL d'ordre n avec Taylor.

Pour , il suffit de calculer les dérivées successives de la fonction, et d'appliquer la formule.



Ensuite, on applique bêtement la formule de Taylor, et on tombe sur ce qu'on cherche.

[invite23e9ad8d]

D'accord merci! donc les DL sont donc bien issus de taylor! merci beaucoup!
juste une petite aide car voilà on a le droit à des annales des devoirs de l'année dernière mais pas les correction.... bon.
alors je voudrais savoir si ce raisonnement est juste:
recherchez un DL de degré 7:
(ch(x)-1)(sh(x)-1) =( 1 + x²/2! + x⁴/4! + x⁶/6! +o(x⁷) - 1)(( x + x³/3! + x⁵/5! + x⁷/7! +o(x⁷) - x)

= (x²/2! + x⁴/4! + x⁶/6! +o(x⁷))((x³/3! + x⁵/5! + x⁷/7! +o(x⁷))

= x⁵/2 * 3! + x⁵/6 * 4! + x⁵/2 * 5! + o(x⁷)
sachant que le DL ne peut pas être de degrés supérieur à 7 et que tout les autres produits issu de cette multiplication soit de degré 9 à 13

[invitea3eb043e]

On peut imaginer des sortes de développements limités qui ne soient pas issus de Taylor.
Par exemple, fais le développement de racine(x²+x) au voisinage de zéro.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Et le bon vieux , très joli développement limité au voisinage de l'origine d'une fonction qui n'admet qu'une dérivée première à l'origine.

[invite23e9ad8d]

aaaaaarggggh s'il vous plait ne m'achevez pas.... si ça continue je ne vais vraiment pas dormir de la nuit... déjà qu'on a un DS sur les développement limité ALORS qu'on a pas fini le cours ET qu'on a jamais eu de Travaux dirigés dessus... donc à part les exemples de l'enseignant ben.... rien comme outil...
et quand je vois l'interro de l'année dernière... racine carrée de cosinus(x) ou 1/((1+x²)^1/2) ben on essaye comme on peu mais vu qu'on a aucune correction...

[invitea3eb043e]

Ta question était de savoir si tous les développements limités sont issus de la formule de Taylor. La réponse est : non, mais on essaie de profiter de cette formule justement parce qu'on connaît par coeur les bases et qu'on essaie de s'y ramener. C'est le cas pour la racine de (x²+x)

[invitec317278e]

Un exemple usuel de DL pouvant facilement être établi sans Taylor est :


car tend vers 0 en 0.

[invitea3eb043e]

Ce que dit Thorin est certes juste et cette façon de faire est plus élégante que d'utiliser la formule de Taylor. Mais si on avait calculé les dérivées successives de la fonction en zéro, on aurait trouvé le même résultat, alors que les exemples donnés plus haut correspondent à des cas où on ne peut calculer les dérivées en zéro mais où il existe quand même des développements limités.

[invite23e9ad8d]

huum donc au final la formule de Taylor permet de trouver des Dl de certaines fonctions mais pas toutes, ce qui veut donc dire qu'on aura, soit une fonction simple ou taylor est appliquable, soit des fonctions qui seront des opérations de fonctions dont on connait les développements limités (comme 1/(1-x) ou cos(x), sin(x), e^x...). Donc alors je pense qu'il faudra que je connaisse tout les DL déjà donné en cours, puis réviser les cours sur la formule de taylor... Ben merci beaucoup pour vos aides en fait ça me rassure un peu alors... ça veux dire qu'on ne nous donnera pas de truc impossibles et non vu en cours, faudra juste être un peu attentif sur la forme des fonction. merci beaucoup!