Isométries vectorielles dans espace euclidien

[FAN FAN]

Bonjour,

On trouve dans tous les manuels:

Dans un espace euclidien de dimension n, une application orthogonale (ou isométrie) u a pour matrice, dans une base orthonormée de vecteurs propres une matrice quasi-diagonale dont les termes diagonaux sont les suivants:
- des 1 en nombre p (correspondant à la VaP 1 qui est associée sous-espace propre Ker (u-id) de dimension p).
- des -1 en nombre q (correspondant à la VaP -1 qui est associée sous-espace propre Ker (u+id) de dimension q).
- des sous-matrices 2x2 en cos et sin en nombre (n-(p+q))/2 (correspondant aux VaP complexes conjugués de module 1 qui sont associées aux plans propres de u).

Voici ma question:
Il me semble que la base de vecteurs propres n'a nullement besoin d'être orthonormée (comme précisé dans tous les manuels) orthonormale est suffisant, pour que la matrice de u ait cette forme ?...
Cete affirmation est-elle bien exacte ?
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[God's Breath]

A part le fait que «orthonormé» est un mot de la langue française alors que «orthonormal» est un horrible anglicisme, quelle différence y a-t-il entre ces deux mots dans l'usage mathématiques ?

[leon1789]

Voici ma question:
Il me semble que la base de vecteurs propres n'a nullement besoin d'être orthonormée (comme précisé dans tous les manuels) orthonormale est suffisant, pour que la matrice de u ait cette forme ?...
Cete affirmation est-elle bien exacte ?

Tu veux dire : orthogonale est-il suffisant ?
(pas de différence entre orthonormée et orthonormale...)

[God's Breath]

Tu veux dire : orthogonale est-il suffisant ?

C'est insuffisant : chaque couple de vecteurs qui permet d'obtenir une sous-matrice doit être constitué de deux vecteurs ayant mêmes normes, mais cette valeur commune de la norme peut varier suivant le couple ; quant aux vecteurs propres, aucune condition de normes n'est nécessaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[leon1789]

C'est insuffisant

oui, orthogonale ne suffit pas, mais orthonormée n'est pas nécessaire comme tu dis, une base multiple d'une base orthonormée est nécessaire et suffisant.

[FAN FAN]

C'est insuffisant : chaque couple de vecteurs qui permet d'obtenir une sous-matrice doit être constitué de deux vecteurs ayant mêmes normes, mais cette valeur commune de la norme peut varier suivant le couple ; quant aux vecteurs propres, aucune condition de normes n'est nécessaire.

Merci, c'est la réponse qui me satisfait:
Comme tu le fais remarquer, il faut que les deux vecteurs de base des plans propres aient même norme pour que les matrices 2x2 de la diagonale s'expriment par sin et cos.

Merci à tous pour vos réponses.

[FAN FAN]

A part le fait que «orthonormé» est un mot de la langue française alors que «orthonormal» est un horrible anglicisme, quelle différence y a-t-il entre ces deux mots dans l'usage mathématiques ?

Base orthonormée veut dire constituée de vecteurs orthogonaux de norme 1

Base orthonormale veut dire constituée de vecteurs orthogonaux mais de normes quelconques.

[God's Breath]

Base orthonormée veut dire constituée de vecteurs orthogonaux de norme 1

Base orthonormale veut dire constituée de vecteurs orthogonaux mais de normes quelconques.

Et que signifie «base orthogonale» ?

[FAN FAN]

Et que signifie «base orthogonale» ?

Je ne connais pas ce qualificatif appliqué à une base. Peut-être est-ce synonyme de base orthonormale.

En revanche ce qualificatif s'applique aux applications ou aux matrices:
Application orthogonale = isométrie vectorielle = transformation orthogonale = isomorphisme orthogonal.
Tous ces termes sont, sauf erreur, synonymes.

[leon1789]

Base orthonormée veut dire constituée de vecteurs orthogonaux de norme 1

Base orthonormale veut dire constituée de vecteurs orthogonaux mais de normes quelconques.

non, "orthonormale" implique des vecteurs de norme 1, et "orthogonale" sans condition sur les normes :
http://spiral.univ-lyon1.fr/pcsm/mat.../access.htm#D2