Espace euclidien et réalité

[inviteec8a8988]

Bonjour,

C'est en rédigeant une note de cours sur l'espace-temps de Newton qu'une difficulté conceptuelle m'est venue (naive sans doute) entre algèbre et réalité. Considérons l'espace (sans le temps). Dans la théorie physique classique, c'est l'espace euclidien tridimensionnel ordinaire. Autrement dit, c'est un espace affine formé d'un ensemble de points, associé à l'espace vectoriel (muni de sa structure euclidienne canonique). Ainsi, sur existe le produit scalaire canonique dont découle la norme euclidienne, la distance euclidienne, les angles, on peut définir des bases orthonormées, etc.

Cependant, tout ceci est une structure algébrique très abstraite. Il me manque quelque chose pour "l'immerger dans le réel", autrement dit représenter cette construction algébrique telle qu'elle doit coller à la géométrie. Par exemple, restreignons nous au plan affine, je lui associe (avec la structure euclidienne canonique) : la base canonique est bien sûr orthonormée. Maintenant, pour la représenter par deux vecteurs sur une feuille de papier (mon espace affine), je peux prendre deux vecteurs tout à fait quelconques (non colinéaires tout de même) et décréter que c'est ma base orthonormée. Dans ce cas, le vecteur aura une norme (voir dessin sur la pièce jointe), ou de manière équivalente la distance entre et est . Mais cette notion de norme et de distance ne colle pas avec celle de la géométrie qui mesure les longueurs avec une règle rigide : pour que ces notions soient compatibles, il faut obligatoirement que je "dessine" ma base avec une équerre pour qu'elle fasse un bon vieil angle droit et avec une règle pour m'assurer que je lise sur la règle un même écart entre le point et la flèche des deux vecteurs de base. Ainsi, dans ce cas, je lirai bien entre et une longueur sur ma règle (j'ai une règle assez spéciale ).

Quelqu'un pourrait-il m'aider à combler mes lacunes ? Merci.
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[invite4f5f4c42]

Il me semble que ton problème vient juste du fait que tu considères le produit scalaire canonique de R^3 Si tu prends un produit scalaire correspdant pour tes vecteurs cela revient au même que considérer des vecteurs de la base canonique et le produit scalaire canonique.(SI j'ai bien compris ton problème)

[inviteec8a8988]

Par contre, je ne pense pas saisir ta réponse. J'avoue aussi que ma question n'est sans doute pas très claire, mais ce n'est pas facile à exprimer. C'est même probablement n'importe quoi ... .

[invitebb921944]

Maintenant, pour la représenter par deux vecteurs sur une feuille de papier (mon espace affine), je peux prendre deux vecteurs tout à fait quelconques (non colinéaires tout de même) et décréter que c'est ma base orthonormée. Dans ce cas, le vecteur AB=e1+e2 aura une norme racine(2) (voir dessin sur la pièce jointe), ou de manière équivalente la distance entre A et B est racine(2).

En gros si j'ai bien compris, ton souci c'est que si je vois un objet en perspective, je ne mesurerai pas toujours, à la règle, la longueur réel d'une de ses arêtes par exemple.
En fait, si tu décretes que deux vecteurs quelconques forment une base orthonormée, alors ils ne forment pas une base orthonormée de ta feuille mais d'un plan qui "va en profondeur", un plan non parallèle à ta feuille quoi.
Dans ce cas, il est normal que tu ne mesures pas la longueur réelle de l'objet considéré.
Tu remarqueras que sur ton propre dessin, en mesurant e1 à la règle, tu ne trouves pas la même longueur que e2.

Je sais pas si j'ai bien compris le souci mais j'aurais essayé ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

En fait, je pense que :
soit tu considères que e1 et e2 sont inclus dans le plan formé par ta feuille mais dans ce cas, ce n'est pas une base orthonormale.
soit tu considères que e1 va en profondeur et dans ce cas, ta base peut effectivement etre orthonormale mais tu la vois en perspective et il est donc normale que les longueurs ne puissent être mesurées sur ta feuille.

[inviteec8a8988]

En fait dans l'exemple du dessin, je considérais le plan uniquement, c'était à 2D et l'espace vectoriel associé est R^2.

[invitebb921944]

Alors dans ce cas il faut m'expliquer pourquoi e1 et e2 qui sont de norme 1 n'ont pas la même longueur dans ton plan et il faut aussi m'expliquer pourquoi e1 et e2 ne sont pas orthogonaux dans ton plan alors que tu dis avoir dessiné une base orthonormale.

[inviteec8a8988]

Parce que j'ai tout à fait le droit de les décréter orthonormaux par le produit scalaire euclidien. En effet, si je dis et , j'ai bien :



En fait, tout est question de représentation de mon espace vectoriel.

[inviteec8a8988]

J'ai également :



et je peux toujours définir un angle (non orienté) tel que :

[invitebb921944]

Parce que j'ai tout à fait le droit de les décréter orthonormaux par le produit scalaire euclidien.

D'accord mais dans ce cas, je ne pense pas que tu puisses les représenter comme cela dans le plan de ta feuille.
De plus, sans te poser un problème sur le fameux racine(2), tu pourrais dejà te demander pourquoi tu ne mesures pas la même longueur pour tes deux vecteurs de même norme, non ?

[invitebb921944]

Quand j'y repense, pour connaître la distance entre deux points, tu calcules la norme du vecteur correspondant (norme qui dépend de ta structure d'espace). Ceci ne dépend pas de ta représentation.
Or, quand tu utilises la mesure par la règle, j'aurais tendance à dire que tu utilise nécessairement la norme canonique de R².
En gros comme l'a dit GUTS (et si j'ai correctement interpreté ses propos), tu n'utilises pas la norme adéquate lorsque tu mesures par la règle. (sauf dans le cas ou ta représentation correspond effectivement à la représentation classique d'un repère orthonormé dans R²)

[Burakumin]

Bonjour RaFFoX

Tu as ici mis le doigt sur un point important de la modélisation classique de la réalité. Oui il est tout à fait exacte que tu peux bien définir a priori que deux vecteurs quelconques non colinéaire sont orthogonaux ! Et tout ce que tu dis est exacte.

Si l'on a un e.v. réel de dimension finie > 0 , il existe a priori une infinité de produits scalaires définissable dessus. Selon le produit scalaire choisi, tu obtiens un espace euclidien différent ! Et toute les propriétés liées à la notion de produit scalaire (orthogonalité, norme, angles, adjoint, ... ) seront a priori différentes d'un euclidien à l'autre.

Pour faire le lien avec la réalité, il convient de dire que l'espace physique (dans un cadre newtownien) possède naturellement un produit scalaire (en faite ce n'est pas tout à fait exacte, car le produit scalaire en dit un peut trop). Il y a naturellement une notion d'angle.

Chercher à définir mathématiquement ce produit scalaire est une voie sans issue ! Tout ce que tu risques de faire c'est tourner en boucle. Dire que ne nous avance à rien. Il faut alors préciser auparavant dans quelle base on décompose u et v. Une base orthonormée ? ! Mais pour définir la notion de base orthonormée on a justement besoin ... d'un produit scalaire. La base canonique ? Les espaces euclidien ne possède en générale pas de base canonique (même pour , l'appellation base canonique pour {(1,0,...),(0,1,...),...} est trés discutable).

Ce produit scalaire doit donc être supposé comme une donnée première : il existe et les lois de la physique vont avoir une certaine expression dans l'espace euclidien qu'il définit.