Matrices

[invitea4b08ac9]

Bonjour,
Je suis en pleine révision d'lagèbre linéaire et je ne comprends pas concrètement comment se trouve la dimension ainsi que l'image d'une matrice ? Pouvez-vous m'aider ? merci
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[Romain-des-Bois]

Salut,

Prenons une matrice réelle n,m par exemple. Elle code une application linéaire allant d'un espace E de dimension m dans un espace E' de dimension n.

Tu veux connaître l'image.
Tu prends un élément de E : un vecteur x à m composantes (x1 , ... , xm). (Il te faut écrire ce vecteur en colonne.)
Lorsque tu fais le produit : Mx (où M est la matrice) tu obtiens l'image du vecteur (x1 , ... , xm). Notons la : (y1 , ... , yn)

L'image de M est l'ensemble des (y1 , ... , yn) quand les x1 , ... , xm varient (dans IR ici).


C'est plus clair...
peut-être faudrait-il le voir sur un cas concret.

Romain

[invite986312212]

bonjour,

je suppose que tu parles du rang d'une matrice et pas de sa dimension ? si oui, le rang est la dimension de l'image et c'est aussi la dimension de la plus grande sous-matrice carrée inversible. Si la matrice qui t'est donnée n'est pas trop grande, tu peux repérer à l'oeil cette sous-matrice et donc connaître le rang. Par exemple, une matrice dont au moins un élément est non nul est de rang au moins 1 (bon, c'est trivial) et c'est assez facile de repérer une matrice 2x2 de rang 2 (i.e. inversible i.e. dont le déterminant est non nul).