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Vecteurs aléatoires et fonctions caractéristiques



  1. #1
    FAN FAN

    Vecteurs aléatoires et fonctions caractéristiques


    ------

    Bonjour,
    Je sèche sur l'exercice suivant:

    X =(X_1, X_2, X_3) vecteur aléatoire de loi normale N_2(0, I_3)
    (I_3 = matrice unitaire de R3)

    - Question: Fonction caractéristique du vecteur aléatoire (X_1.X_2, X_1.X_3) de R2 ?

    Voici la stratégie que j'ai tentée:
    - Chercher la densité du vecteur aléatoire de R3: (X_1.X_2, X_1.X_3, X_3) en faisant le changement de variable adéquoit, avec le jacobien etc...
    - Intégrer cette densité de R3 sur la dernière variable pour avoir la loi marginale qui est la loi cherchée, puis calculer sa fonction caractéristique.
    - Autre stratégie: A partir de la densité de (X_1.X_2, X_1.X_3, X_3), calculer sa fonction caractéristique (dans R3) et annuler la 3e variable.

    Aucune de ces stratégies ne marchent: elles conduisent à des intégales que je n'arrive pas à calculer...

    D'après le style d'exercice cela devrait pourtant être facile, mais je n'ai pas trouvé la bonne méthode...

    Merci à qui pourra m'aider !

    -----

  2. #2
    GrisBleu

    Re : Vecteurs aléatoires et fonctions caractéristiques

    Salut

    Voila comment je resous ca (en plus c est assez systematique comme methode). Je sais que ca marche dans le cas classique de la somme de deux variables. La j\, il y a des divisions, je n ai pas verifie is ca passe
    Je laisse tous les details (les nom des densite par exemple)
    Posons et Y=(y1,y2)
    la densite de Y est
    On a la densite totale (Y et X) comme outil de depart

    Y est defini en fonction des X, tu peux donc essayer la proba conditionnelle

    Par definition de Y en fonction des X, tu as

    Donc

    Dirac verifie d ou


    Comme tout le monde est independent:
    Donc

    Reste a calculer

    J espere ne rien avoir oublie

    ++

  3. #3
    FAN FAN

    Re : Vecteurs aléatoires et fonctions caractéristiques

    [QUOTE=wlad_von_tokyo;1669739]Salut

    Tu écris :

    Par definition de Y en fonction des X, tu as


    Est-ce bien vrai ? y_1 et y_2 ne sont pas indépendantes car liées par x_2; a-t-on alors le droit de faire le produit des delta ?

  4. #4
    GrisBleu

    Re : Vecteurs aléatoires et fonctions caractéristiques

    salut

    Je crois que on a toujours surtout que la, les arguments (cf l integration sur dx1dx3) sont x1 et x3 qui sont bien separables

    ++

  5. A voir en vidéo sur Futura

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