Vecteurs aléatoires et fonctions caractéristiques

[FAN FAN]

Bonjour,
Je sèche sur l'exercice suivant:

X =(X_1, X_2, X_3) vecteur aléatoire de loi normale N_2(0, I_3)
(I_3 = matrice unitaire de R3)

- Question: Fonction caractéristique du vecteur aléatoire (X_1.X_2, X_1.X_3) de R2 ?

Voici la stratégie que j'ai tentée:
- Chercher la densité du vecteur aléatoire de R3: (X_1.X_2, X_1.X_3, X_3) en faisant le changement de variable adéquoit, avec le jacobien etc...
- Intégrer cette densité de R3 sur la dernière variable pour avoir la loi marginale qui est la loi cherchée, puis calculer sa fonction caractéristique.
- Autre stratégie: A partir de la densité de (X_1.X_2, X_1.X_3, X_3), calculer sa fonction caractéristique (dans R3) et annuler la 3e variable.

Aucune de ces stratégies ne marchent: elles conduisent à des intégales que je n'arrive pas à calculer...

D'après le style d'exercice cela devrait pourtant être facile, mais je n'ai pas trouvé la bonne méthode...

Merci à qui pourra m'aider !
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[GrisBleu]

Salut

Voila comment je resous ca (en plus c est assez systematique comme methode). Je sais que ca marche dans le cas classique de la somme de deux variables. La j\, il y a des divisions, je n ai pas verifie is ca passe
Je laisse tous les details (les nom des densite par exemple)
Posons et Y=(y1,y2)
la densite de Y est
On a la densite totale (Y et X) comme outil de depart

Y est defini en fonction des X, tu peux donc essayer la proba conditionnelle

Par definition de Y en fonction des X, tu as

Donc

Dirac verifie d ou


Comme tout le monde est independent:
Donc

Reste a calculer

J espere ne rien avoir oublie

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[FAN FAN]

[QUOTE=wlad_von_tokyo;1669739]Salut

Tu écris :

Par definition de Y en fonction des X, tu as


Est-ce bien vrai ? y_1 et y_2 ne sont pas indépendantes car liées par x_2; a-t-on alors le droit de faire le produit des delta ?

[GrisBleu]

salut

Je crois que on a toujours surtout que la, les arguments (cf l integration sur dx1dx3) sont x1 et x3 qui sont bien separables

++

[A voir en vidéo sur Futura]