espace euclidien

[invite0559109a]

Bonjour a tous,
soit e un espace euclidien orienté de dimension 3 rapporté à une base orthonormale directe B. Pour tout a réel on considère l'endomorphisme f dont la matrice b est :
A=1/3 ( a 2 -2
2a 1 2
-2a 2 1 )
Démontrer qu'il existe deux valeurs de a pour laquelle f est un endomorphisme orthogonal.
Pour chacune de ces deux vameurs, déterminer la nature géométrique de f.


Je trouve 1 et -1
pour le a=1 j'ai trouvé une symétrie orthogonale par rapport à un plan d'équation -x+y-z=0. Mais je n'arrive pas à trouver pour a= -1.

On obtient la matrice :
B= 1/3 ( -1 2 -2
-2 1 2
2 2 1)

B appartient aux orthogonaux mais n'est pas symétrique. donc après je ne sais pas comment faire; merci de votre aide
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[invite8b04eba7]

Salut !

Tu peux essayer de calculer son déterminant, et pourquoi pas un vecteur fixe par B. Si ça se trouve ta matrice est celle d'une rotation.

Dans ce cas, il y a des formules pour trouver l'angle en regardant la trace.

[invite0559109a]

pour a= -1 c'est une rotation car det (B) =1 est pr la trace je trouve 1/3 donc en calculant je trouve cos t=-1/3

donc t = + ou - Arccos(1/3)
et après je ne sais pas pour trouver le signe du sinus.

[invitedef78796]

pour a= -1 c'est une rotation car det (B) =1 est pr la trace je trouve 1/3 donc en calculant je trouve cos t=-1/3

donc t = + ou - Arccos(1/3)
et après je ne sais pas pour trouver le signe du sinus.

Salut, si e1 désigne un vecteur directeur de l'axe de ta rotation r et u un vecteur non colinéaire à e1, alors le signe du sinus est donné comme celui du déterminant (dans la base où tu as ta matrice) :

det(e1, u , r(u))

Avec ça tu dois pouvoir conclure.

@+

[A voir en vidéo sur Futura]