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espace euclidien



  1. #1
    myboo45

    espace euclidien


    ------

    Bonjour a tous,
    soit e un espace euclidien orienté de dimension 3 rapporté à une base orthonormale directe B. Pour tout a réel on considère l'endomorphisme f dont la matrice b est :
    A=1/3 ( a 2 -2
    2a 1 2
    -2a 2 1 )
    Démontrer qu'il existe deux valeurs de a pour laquelle f est un endomorphisme orthogonal.
    Pour chacune de ces deux vameurs, déterminer la nature géométrique de f.


    Je trouve 1 et -1
    pour le a=1 j'ai trouvé une symétrie orthogonale par rapport à un plan d'équation -x+y-z=0. Mais je n'arrive pas à trouver pour a= -1.

    On obtient la matrice :
    B= 1/3 ( -1 2 -2
    -2 1 2
    2 2 1)

    B appartient aux orthogonaux mais n'est pas symétrique. donc après je ne sais pas comment faire; merci de votre aide

    -----

  2. #2
    doudache

    Re : espace euclidien

    Salut !

    Tu peux essayer de calculer son déterminant, et pourquoi pas un vecteur fixe par B. Si ça se trouve ta matrice est celle d'une rotation.

    Dans ce cas, il y a des formules pour trouver l'angle en regardant la trace.

  3. #3
    myboo45

    Re : espace euclidien

    pour a= -1 c'est une rotation car det (B) =1 est pr la trace je trouve 1/3 donc en calculant je trouve cos t=-1/3

    donc t = + ou - Arccos(1/3)
    et après je ne sais pas pour trouver le signe du sinus.

  4. #4
    IceDL

    Re : espace euclidien

    Citation Envoyé par myboo45
    pour a= -1 c'est une rotation car det (B) =1 est pr la trace je trouve 1/3 donc en calculant je trouve cos t=-1/3

    donc t = + ou - Arccos(1/3)
    et après je ne sais pas pour trouver le signe du sinus.
    Salut, si e1 désigne un vecteur directeur de l'axe de ta rotation r et u un vecteur non colinéaire à e1, alors le signe du sinus est donné comme celui du déterminant (dans la base où tu as ta matrice) :

    det(e1, u , r(u))

    Avec ça tu dois pouvoir conclure.

    @+

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