un espace euclidien peut-il etre fini ?

[dgino]

il est question de topologie de l'univers concretiser cette question.

j'avoue que des que j'essaye de m'imaginer l'univers comme fini mais sans bord et donc illimite, j'ai du mal. Comme tous d'ailleurs car notre imagination n'est pas capable de le concevoir, juste des equations mathematiques le peuvent. Je me met alors a penser a un palais des glaces aux milles mirroirs pour m'en rapprocher...

et j'ai un peu du mal avec les types d'espaces tridimentionnels : euclidiens, spheriques ou hyperboliques.
Hyperboliques et spheriques, je comprend a peu pres comment ils peuvent etre finis : par la courbure de l'espace-temps (comme quand on plie une feuille en deux en rejoignant les deux extremites si on enleve une dimension).
mais un espace euclidien, je ne vois pas trop comment, or il me semble que c'est pourtant possible (je sais plus ou j'ai lu ca mais ca m'est reste)

quelqu'un peut-il m'eclairer sur cette question ?
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[Rincevent]

Hyperboliques et spheriques, je comprend a peu pres comment ils peuvent etre finis : par la courbure de l'espace-temps (comme quand on plie une feuille en deux en rejoignant les deux extremites si on enleve une dimension).

en fait, la réponse à ta question est plus ou moins incluse dans l'exemple que tu donnes. Car c'est ainsi que tu peux obtenir un espace Euclidien de taille fini (mais sans bord). J'ai déjà parlé de ça quelque part sur le forum, mais je sais plus où, alors je te fais un bref résumé:

il y a deux sortes de courbure, la courbure intrinsèque et la courbure extrinsèque. La première est celle qui est intéressante en relativité générale et implique que comme tu le dis un truc courbe peut être fini. Un exemple très facile d'espace courbe (de manière intrinsèque) est la boule sur laquelle nous marchons (si on oublie l'altitude). Et il existe une façon expérimentale très simple de vérifier que c'est un espace (intrinsèquement) courbe à deux dimensions: il suffit de tracer un triangle et de faire la somme des trois angles. Dans un espace plat, on trouvera toujours 180 degrés. Dans un espace courbe, non. Pour se convaincre de ça, il faut évidemment dessiner un grand triangle: localement la Terre nous semble plate et ça se voit pas. Exemple simple: un triangle dont les trois côtés sont: deux méridiens et un morceau d'équateur (c'est-à-dire que les sommets sont deux points de l'équateur plus le pôle Nord).

Comme son nom l'indique, la courbure extrinsèque est quant à elle une propriété qui ne dépend pas complètement de l'espace considéré. Elle dépend aussi de la façon dont on "visualise" (ou immerge dans un espace de dimension supérieure) l'espace dont on parle. Mais dans un truc qui possède uniquement une courbure extrinsèque, la somme des angles d'un triangle fera toujours 180 degrés.

Et en fait, l'exemple que tu donnes de la feuille que l'on plie est un truc à courbure extrinsèque mais sans courbure intrinsèque SI tu ne découpes pas de morceau de ta feuille avant de recoller le tout. Ainsi, si tu colles ensemble 2 à 2 les côtés opposés d'une feuille (sans faire de demi-tour) tu obtiens un tore. Un truc comme un beignet. Malgré les apparences, cet objet est sans courbure intrinsèque. Si tu fais des triangles dessus, tu trouveras toujours 180 degrés. Tu as donc un espace Euclidien (c'est-à-dire sans courbure intrinsèque) de dimension 2. Une autre façon de visualiser le même espace géométrique est de l'imaginer comme un carré tel que si tu sors par un côté, tu rentres par le côté opposé. Pour toi qui vois le carré depuis l'extérieur, ça semble différent. Mais pour un être en deux dimensions qui vivrait uniquement sur le carré, il n'aurait AUCUN moyen de le différencier d'un tore. Cette "courbure extrinsèque" est avant tout un effet topologique, un truc global et non-local.

autre remarque sur les courbures: si tu coupes et déplies un beignet et le met à plat, tu obtiendras un truc vraiment plat. En revanche, si tu essaies avec un ballon de baudruche, tu ne pourras jamais le mettre réellement à plat, SAUF si tu coupes de nombreuses fois. C'est une autre propriété qui différencie les courbures extrinsèques (le beignet) et intrinsèque (le ballon). Et c'est ça qui fait que si tu colles de manière simple et sans découper une feuille (qui est plate) tu n'auras pas un truc avec une courbure intrinsèque. Coller courbe seulement extrinsèquement.

pour en venir à notre image de l'univers, on sait qu'il a une courbure intrinsèque: c'est ce que dit la théorie de la gravitation d'Einstein (et ses concurrentes sont pour la plupart d'accord avec ça car tout va dans ce sens). En revanche, la relativité générale (qui est une théorie locale) ne parle pas de la topologie. On peut donc imaginer qu'en plus d'avoir une courbure intrinsèque, notre univers ait une "topologie complexe" (ce qui a des effets similaires à l'existence d'une courbure extrinsèque). Une solution simple (qui n'est cependant pas en accord avec les données cosmologiques observationnelles) serait qu'il soit plat (un bête R3) mais tel un cube dont on identifierait deux à deux les faces. C'est la généralisation en trois dimensions du tore. Pour être le plus général possible, il faut donc imaginer un tore qui en plus ne soit pas plat...

exemple "un peu plus concrêt" :

récemment des astrophysiciens se reposant sur des données observationnelles ont proposé qu'il serait plus proche d'un "ballon de foot dont on identifie les faces deux à deux"...

je sais pas si tout ça t'aura éclairé, mais bon....

[C++]

Justement a propos des courbures intrinseques et extrinseques une idée curieuse m'est venue :

On prend une feuille de bloc note et on dessine l'"espace euclidien" dessus(materialisé par exemple par une sucession etroite de cercles concentriques chargés par dessus de rayons).La metrique de la feuille de papier est evidemment euclidienne avec la relation de pythagore.

On ramene a present une balle et on applique la feuille par dessus..par identification(permise par l'egalité des longueurs de tous segments infinitesimaux sur le papier et de la surface de la baballe) la metrique est la meme par les deux..ce qui est absurde car pour une sphere ou un morceau de sphere on a la geometrie de riemann..

Je fais erreur,mais où :?

[Rincevent]

Je fais erreur,mais où

en fait, tu fais juste une petite erreur: sur un point. Puisqu'un point est un truc de mesure nulle, on pourrait presque dire que tu as raison, mais malheureusement, les mathématiciens seraient sûrement pas d'accord....

le truc, c'est que tu peux presque définir une bijection de R² sur la sphère (par ta méthode ou autrement), mais il te manquera toujours un point (le pôle Nord par exemple). C'est le point qui est "à l'infini" pour R². Si tu veux plus de détails sur ça, cherche des infos sur la sphère de Riemann (j'en ai déjà parlé au sujet des droites parallèles qui se rencontrent à l'infini). En fait, il s'agit d'une bijection de C U {le point à l'infini} avec la sphère qui elle existe pour de bon. Mais tu vois bien que R² + le point infini, c'est plus du tout R²: tu as un compact et non un ouvert.

ce point de vue là était celui de l'analyse complexe. Maintenant, avec le point de vue "géométrie différentielle", la réponse est très semblable: la notion qui généralise celle d'espace Euclidien est celle de variété. Les variétés les plus simples sont celles pour lesquelles en tout point on peut faire un homéomorphisme local avec avec R^n. Ces grands mots veulent juste dire que localement ton espace est très identique à un espace Euclidien de même dimension. Du point de vue des physiciens, ça veut dire que tu peux trouver un système de coordonnées avec une métrique plate, mais seulement localement. Si ta variété est vraiment courbe, tu ne trouveras pas de système de coordonnées global et plat. En revanche, dans les cas les plus simples, il est possible que tu puisses utiliser seulement deux systèmes de coordonnées liés à des métriques plates et telles qu'en mettant les deux ensemble tu recouvres toute la variété. Dans les cas plus compliqués (courbures non constantes, etc), c'est pas aussi simple... (normal puisqu'ils sont compliqués )

les mathématiciens appellent les systèmes de coordonnées "cartes". Ce terme permet de mieux sentir la notion dernière: tu devras utiliser au moins deux feuilles de papier (de tailles infinies) pour recouvrir avec ta méthode la sphère sans oublier le pôle Nord. Les deux cartes se recouvreront peut-être par endroit, et pour que tu aies bien une variété différentiable avec des propriétés sympas, faut alors imposer des conditions sur tes cartes, leurs recouvrements et sur l'ensemble des cartes possibles... mais c'est juste le début d'une histoire très intéressante et qui peut t'amener très très loin... en fait, les 4 interactions fondamentales peuvent se décrire dans un cadre géométrique assez semblable à ça (modulo l'ajout d'encore pas mal d'ingrédients du genre les algèbres de Lie). Et même les théories de corde reposent avant tout sur des notions géométriques qui tirent leurs origines de tout ça.

[A voir en vidéo sur Futura]

[C++]

Slut Rincevent.

Je te reponds brievement pr l'instant vu l'heure

le truc, c'est que tu peux presque définir une bijection de R² sur la sphère (par ta méthode ou autrement), mais il te manquera toujours un point (le pôle Nord par exemple). C'est le point qui est "à l'infini" pour R². Si tu veux plus de détails sur ça, cherche des infos sur la sphère de Riemann (j'en ai déjà parlé au sujet des droites parallèles qui se rencontrent à l'infini). En fait, il s'agit d'une bijection de C U {le point à l'infini} avec la sphère qui elle existe pour de bon

C'est en mettant quelles conditions qu'on devoile ce resultat ?

Parce que bon en enlevant la continuité je te mets R²<->surface_de_la_sphere en bijection sans probleme

[Rincevent]

salut,

Parce que bon en enlevant la continuité je te mets R²<->surface_de_la_sphere en bijection sans probleme

justement, la continuité est quasiment la propriété la plus importante à garder si tu veux pouvoir faire des trucs en géométrie différentielle... (et elle est aussi cruciale dans le cadre de l'analyse complexe)

en fait, la bijection entre le plan + le point infini et la sphère de Riemann est simple à visualiser:

tu imagines une sphère posée sur un plan et telle que son pôle Sud coïncide avec l'origine. Tu considères ensuite les droites issues du pôle Nord et interceptant le plan. Tu verras alors facilement que chacune de ces droites intercepte la sphère en un seul point (et fait de même avec le plan). D'où la fonction de l'un à l'autre. Les cas limites étant:

- la droite verticale confondue avec l'axe joignant les pôles qui associe donc à l'origine du plan le pôle Sud

- les droites tangentes au pôle Nord qui interceptent le plan "à l'infini", ce qui signifie que dans cette bijection le pôle Nord est associé au point infini.

Et pour les autres points, on a en gros les cercles dont tu parlais.

[C++]

salut,

Parce que bon en enlevant la continuité je te mets R²<->surface_de_la_sphere en bijection sans probleme

justement, la continuité est quasiment la propriété la plus importante à garder si tu veux pouvoir faire des trucs en géométrie différentielle... (et elle est aussi cruciale dans le cadre de l'analyse complexe)

en fait, la bijection entre le plan + le point infini et la sphère de Riemann est simple à visualiser:

tu imagines une sphère posée sur un plan et telle que son pôle Sud coïncide avec l'origine. Tu considères ensuite les droites issues du pôle Nord et interceptant le plan. Tu verras alors facilement que chacune de ces droites intercepte la sphère en un seul point (et fait de même avec le plan). D'où la fonction de l'un à l'autre. Les cas limites étant:

- la droite verticale confondue avec l'axe joignant les pôles qui associe donc à l'origine du plan le pôle Sud

- les droites tangentes au pôle Nord qui interceptent le plan "à l'infini", ce qui signifie que dans cette bijection le pôle Nord est associé au point infini.

Et pour les autres points, on a en gros les cercles dont tu parlais.

Lut'

Yes mais avec ta fonction on cree une deformation evidente des distances..

Enfin je me demande un peu pourquoi tu me parles de l'impossibilité de bijection complete etant donné le contexte sur les metriques ou je l'ai evoquée.Que la bijection soit,ca n'a aucune influence sur les caracteres metriques des espaces qui la font ?? Et pour avoir l'identité metrique a coordonnées pres dont je parle coller un quelconque morceau "lisse" de plan sur un morceau de sphere est deja pas mal.

Bon je me suis trouvé une explication bcp bcp plus naturelle et simple que la tienne : aucune des hypothese que j'ai imaginé n'est fausse mathematiquement mais c'est simplement totalement impossible de coller une feuille sur un globe : ou elle en sort bien froissée !

[Rincevent]

salut

Yes mais avec ta fonction on cree une deformation evidente des distances.. .

écris la métrique de la sphère et celle du plan, et tu verras que tu auras du mal à les rendre compatibles sans rien faire....

Enfin je me demande un peu pourquoi tu me parles de l'impossibilité de bijection complete etant donné le contexte sur les metriques ou je l'ai evoquée.Que la bijection soit,ca n'a aucune influence sur les caracteres metriques des espaces qui la font ?? Et pour avoir l'identité metrique a coordonnées pres dont je parle coller un quelconque morceau "lisse" de plan sur un morceau de sphere est deja pas mal.

ok, y'avait eu un malentendu. Je pensais que tu cherchais à obtenir par ta méthode une bijection de R^2 dans la sphère. Et pas à faire seulement un truc local.

Car localement, tu peux toujours recouvrir une sphère avec un feuille en papier (c'est ce qu'on fait lorsque l'on dit que le sol est plat). Et c'est dû au fait que la sphère est une variété différentiable localement isomorphe à R^2. Ainsi, localement, et uniquement localement, tu peux obtenir une bijection entre un morceau de R^2 et un morceau de la sphère. Et ce "uniquement localement" est complètement dû à l'existence de la courbure intrinsèque de la sphère. Cette même courbure se traduisant par le froissement dont tu parles. C'est la même chose que lorsque j'avais dit (je ne sais plus où) au sujet d'un ballon de baudruche que l'on ne peut pas le mettre "bien à plat" si on le découpe (sauf si on prend un tout petit morceau).

d'ailleurs, quand tu fais ce truc local, tu vois que "coller une métrique plane sur la sphère" est possible uniquement localement.

ta métrique pour la sphère (de rayon 1) est

ds² = d(theta)² + sin(theta)² d(phi)²

celle du plan en polaires:

ds² = d(r)² + r² d(phi)²

tu vois bien que tu peux dire que c'est deux trucs sont rigoureusement égaux uniquement si tu écris:

sin(theta) ~ theta, c'est-à-dire si tu le linéarises localement...