Electrostatique et devellopement limité.

[invite350e5e55]

Bonsoir.
Alors je suis bien bloqué en refaisant mes exercices d'electrostat, je maitrise pas totalement le devellopement limité quoi... :S.
Le truc c'est que j'ai cette formule la :

E = kq ( ( 1/(r+a)² + 1/(r-a)² + 2r/(r²+a²)^(3/2) ) )

C'est la formule du champ exercé par 4 points sur un points quelconque M, mais sans importance, le truc que j'aimerais savoir, c'est comment, a partir de la formule ci dessus, et avec l'hypothese de bas ci contre " r >> a ", trouver le resultats suivant, a l'aide de developpement limité (d'ordre 1 si possible, avec des formule toute faite, type (1+x)^n = 1+nx ) :

E = 4kq / r²

Merci d'avance.
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[invitea3eb043e]

Je ne sais pas d'où vient ta formule mais ce n'est pas le point central.
L'idée est de mettre r en facteur pour faire apparaître des termes contenant a/r qui est l'infiniment petit (c'est ça ton x).
Pour des raisons d'homogénéité, c'est la même puissance de r qui apparaîtra partout et qui se met en facteur devant tout le monde. Pour un champ c'est 1/r², pour un potentiel c'est 1/r.

[invite350e5e55]

La formule vient du champ exercé par quatre points formant un carré dont deux des points sont sur les abscisses de centre O et de diagonale 2a, tout quatre chargés de la charge q, sur un point M(x) sur l'axe Ox, enfin, passons.

Mais ouais, mais tu sors le 1/r² de chaque denominateur (ce que j'avais deja fait), mais ca signifierait que dans les trois paretheses, ton denominateur serait a chaque fois egale a 1, ce qui expliquerait le facteur 4 qu'il y a dans 4kq/r²...?
J'vois pas comment ca peut faire 1.... :/

[invitea3eb043e]

D'abord je suppose que tu ajoutes bien tes champs vectoriellement.
Ensuite tu as des termes du genre 1/(r+a)² = 1/r² . (1 - a²/r²)
Les champs auront donc un terme en 1/r² qui correspond à la charge totale et un terme en 1/r^4 (mais ça peut être 3) qui correspondent à des moments dipolaires, quadrupolaires, etc...
C'est très utile en physique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite350e5e55]

Oui. Mais il me manque un chainon manquant.
Juste cette egalité que je comprends pas, j'suis desolé si je peux paraitre bete.

1/(r+a)² = 1/r² . (1 - a²/r²)

[invitea3eb043e]

C'est toi qui l'as écrit au début :
(1+x)^n = 1 + nx
Ici x = a²/r² et n = -1
On a d'abord mis r² en facteur au dénominateur.

[invite350e5e55]

Oui, mais ca ca marche seulement situ considere que (r+a)² ca fait r² + a²... C'est bien ca...?
Sinon, tu peux pas considerer que (r+a)² = r²(1+a²/r²)

Dis moi si je suis HS.

[yahou]

Effectivement, pour développer 1/(r+a)², il faut plutôt prendre x=a/r et n=-2. Ceci dit le résultat que tu veux obtenir est un DL à l'ordre 0, donc pas besoin d'appliquer de formule compliquée, il suffit de faire a=0... D'ailleurs tu remarqueras que a n'apparaît pas dans la formule à obtenir !

[invitea3eb043e]

Oui, mais ca ca marche seulement situ considere que (r+a)² ca fait r² + a²... C'est bien ca...?
Sinon, tu peux pas considerer que (r+a)² = r²(1+a²/r²)

Dis moi si je suis HS.

(r+a)² ça n'a jamais fait r² + a² et on ne fait pas la confusion.
D'ailleurs 1/(r+a)² = 1/r² . (1+a/r)^-2 = 1/r² (1 - 2a/r) tandis que
1/(r²+a²) = 1/r² . (1+a²/r²)^-1 = 1/r² . (1-a²/r²) et ce n'est pas pareil du tout.