Formes quadratiques -> signature et orthogonalité

[invite1237a629]

Plop !

Ptites questions rapides j'ai un bon prof de TD et j'ai lu quelques trucs, mais j'aimerais être sûre...

D'abord, la signature d'une forme quadratique (après réduction de Gauss) est donnée par (p,q), avec p le nombre de carrés affectés d'un coeff positif et q le nb de carrés affectés d'un coeff négatif.
Mais quelle est la définition mathématique ? Y en a-t-il une qui ne soit pas celle-là ?
Quelle est l'utilité de la signature ? On a le nb de coeff positifs, le nb de coeff négatifs, mais après ?

Ensuite, l'orthogonalité...

Comment définit-on ? Quelles sont ses propriétés ?


PS : on n'a pas énormément développé l'étude des quadratiques (on a été jusqu'aux cônes isotropes), alors pitié pour mes neurones allergiques à l'algèbre, merci

PS2 : à vendre... et si les questions paraissent pas claires, hésitez pas à me tirer les oreilles, je crois que certains points sont ptet trop vagues ^^'
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[indian58]

Plop !

Ptites questions rapides j'ai un bon prof de TD et j'ai lu quelques trucs, mais j'aimerais être sûre...

D'abord, la signature d'une forme quadratique (après réduction de Gauss) est donnée par (p,q), avec p le nombre de carrés affectés d'un coeff positif et q le nb de carrés affectés d'un coeff négatif.
Mais quelle est la définition mathématique ? Y en a-t-il une qui ne soit pas celle-là ?
Quelle est l'utilité de la signature ? On a le nb de coeff positifs, le nb de coeff négatifs, mais après ?

Ensuite, l'orthogonalité...

Comment définit-on ? Quelles sont ses propriétés ?


PS : on n'a pas énormément développé l'étude des quadratiques (on a été jusqu'aux cônes isotropes), alors pitié pour mes neurones allergiques à l'algèbre, merci

PS2 : à vendre... et si les questions paraissent pas claires, hésitez pas à me tirer les oreilles, je crois que certains points sont ptet trop vagues ^^'

De souvenir, c'est la définition-proposition (car tu montre l'existence et surtout l'unicité de ces p et q).

[invitec053041c]

Salut.

La connaissance de la signature de q permet de savoir (sans avoir à diagonaliser la matrice symétrique associée à q !), si c'est une forme positive, négative, définie positive, définie négative..
C'est pas rien .

Et si f est la forme bilinéaire symétrique associée à q, tu as:



C'est l'extension "naturelle" de l'orthogonalité, car si f définie positive, on retrouve un produit scalaire, et l'orthogonalité "habituelle"..

[invite1237a629]

Plop,

Merci de vos réponses !

En effet, en fait on vient de voir pour les définies positives, mais pour le moment, rien d'extraordinaire dans l'application oO

[A voir en vidéo sur Futura]