Toujours Espaces Vectoriels

[invite51b91b54]

Bonjour,
J'ai un nouvel exercice et cette fois-ci, je bloque d'entré sur la premiere question. Je pense que c'est du a la notation que je n'ai pas encore bien assimilé ...

Voici mon exo :


Soit F = Vec { (0,1,1) ; (1,1,1) ; (2,-1,-1) }

a) Montrer que F est un R espace vectoriel

b) Donner un famille génératrice de F

c) déterminer k1 et k2 tq : k1*(0,1,1) + k2*(1,1,1) = (2,-1,-1)

d) en déduire que la famille A = { (0,1,1) ; (1,1,1) } est aussi une famille génératrice de F

e ) La famille A est elle libre ?

f) la famille A est elle une base de F ?

g) la famille A est elle une base de R³



En faite, des la questions a) je coince...
alors

Merci d'avance
-----

[invitec053041c]

Salut

La question a) , c'est du pipeau.

Car vect(u1,u2,u3) est par définition, le plus petit espace vectoriel contenant u1,u2 et u3...

Tu peux aussi utiliser comme définition du vect, que c'est l'ensemble des vecteurs qui sont combinaisons linéaire de u1,u2 et u3.

[invite1237a629]

Salut,

La méthode de la question a) m'intéresserait bien si ça t'ennuie pas

[invite94ab7024]

cette question est débile
Définir un ev c'est le pt de départ d'un prob d'algèbre linéaire passe à la 2nde question
d'ailleurs ac le peu d'indications fournies, je pourrais même montrer que c'est un C ev
(Par hasard si t'es en prépa faut pas t'inquiéter ce genre de question n'est jamais posé)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefe0032b8]

Salut,

MiMoiMolette tu montres que toutes les règles de calcul qui définissent un espace vectoriel s'appliquent ici, en gros c'est long et chiant

[invite94ab7024]

réponse de prépa

F est non vide, stable par combinaison linéaire c'est à dire respectant la loi interne + et la loi produit externe par un scalaire
à mon avis ca suffira
C'est un R ev puisque le scalaire est réel

[invitebe0cd90e]

Bonjour,
J'ai un nouvel exercice et cette fois-ci, je bloque d'entré sur la premiere question. Je pense que c'est du a la notation que je n'ai pas encore bien assimilé ...

Voici mon exo :


Soit F = Vec { (0,1,1) ; (1,1,1) ; (2,-1,-1) }

a) Montrer que F est un R espace vectoriel

b) Donner un famille génératrice de F

c) déterminer k1 et k2 tq : k1*(0,1,1) + k2*(1,1,1) = (2,-1,-1)

d) en déduire que la famille A = { (0,1,1) ; (1,1,1) } est aussi une famille génératrice de F

e ) La famille A est elle libre ?

f) la famille A est elle une base de F ?

g) la famille A est elle une base de R³



En faite, des la questions a) je coince...
alors

Merci d'avance

Alors :

a) effectivement bizzare, c'est un espace vectoriel par definition... quelle est ta definition de vect ?
b) idem, je pense que c'est juste pour tester ta connaissance du vocabulaire. Une famille generatrice est une famille qui engendre l'espace vectoriel. Cela revient a dire que tout element de F peut s'ecrire (pas forcement de maniere unique) comme une combinaison lineaire d'element de la famille. Or, par definition encore vect(u1,u2,u3) est l'ensmble des combi lineaire de u1,u2 et u3.. Donc une famille generatrice devrait te sauter aux yeux.
c) simple calcul. rentre k1 et k2 dans les parenthese, et identifie les coordonées.
d) Tu as du trouver en b) une famille de 3 vecteurs qui formait une famille generatrice. en c), on montre que le 3e vecteur de ces familles etait une combinaison lineaire des 2 autres. donc les 2 autres suffisent... donc ?
e) calcul, applique la definition d'une famille libre.
f) definition : une base est une famille libre et generatrice.
g) Plusieurs methodes, par exemple raisonnement sur les dimensions. R^3 est de dimension 3, et la dimension d'un espace est le nombre de vecteur d'une base de cet espace. donc ?

[invite51b91b54]

Par définition, Vec est un sous espace vectoriel engendré par une famille de vecteur et donc de part cette définition, F est un R espace vectorriel ?
Ici, F est donc le plus petit sous espace vectoriel contenant u1,u2 et u3.

Cette réponse suffit elle a répondre pleinement a la question a) ou me manque t il qq chose d'autre ?




Sinon, pour la question b) :
Soit (x,y,z) un vecteur de R3, je vais essayer de montrer qu'il existe a, b et c tq :

(x,y,z) = a(0,1,1) + b(1,1,1) + c(2,-1,-1)

(x,y,z) = (b+2c , a+b-C , a+b-c)

x = b+2c
y = a+b-C
z = a+b-c

et le je bloque un peu pour résoudre de système ....
je vois bien que y=z et donc x = b+2c j'arrive pas a conclure.


Pour la question C) pas de pb, c'etait peut etre la seule que j'ai pu faire tout de suite sans regarder le cours

[invitebe0cd90e]

Par définition, Vec est un sous espace vectoriel engendré par une famille de vecteur et donc de part cette définition, F est un R espace vectorriel ?
Ici, F est donc le plus petit sous espace vectoriel contenant u1,u2 et u3.

Cette réponse suffit elle a répondre pleinement a la question a) ou me manque t il qq chose d'autre ?




Sinon, pour la question b) :
Soit (x,y,z) un vecteur de R3, je vais essayer de montrer qu'il existe a, b et c tq :

(x,y,z) = a(0,1,1) + b(1,1,1) + c(2,-1,-1)

(x,y,z) = (b+2c , a+b-C , a+b-c)

x = b+2c
y = a+b-C
z = a+b-c

et le je bloque un peu pour résoudre de système ....
je vois bien que y=z et donc x = b+2c j'arrive pas a conclure.


Pour la question C) pas de pb, c'etait peut etre la seule que j'ai pu faire tout de suite sans regarder le cours

Pour le a) ca me semble bon, mais pour le b) attention tu melanges tout ! il ne s'agit pas de montrer que ces vecteurs forment une famille generatrice de R^3 (ca n'est d'ailleurs pas vrai, comme le montre la suite de l'exo), mais une famille generatrice de F !

Ce qui cette fois est vrai par definition. (dire que F= vect de tes vecteurs revient exactement a dire que F est l'unique espace vectoriel dont tes vecteurs sont une famille generatrice).

[invite51b91b54]

Oki je commence a y voir plus clair.

Sinon, j'ai bien avancé sur cette exo :

b) plus de pb, je me refere a la définition
La famille génératrice est tout simplement ((0,1,1);(1,1,1);(2,-1,-1))

c) pour k1 et k2, j'ai resolu le systeme de 3 eq à 2 inconnus : k1 = 2, k3 = -3

d )je me suis appuyé sur les reponses precedentes de c) et b). Le 3 eme vecteur est une combinaison linéaire des 2 autres. Donc la famille A est aussi generatrice de F

e) avec la dfinition de la famille libre, j'ai cherché a1*( 0,1,1) + a2*(1,1,1) = (0,0,0)
et je trouve bien a1 = a2 = 0 donc A est libre.

f)comme la famille A est generatrice et libre, c'est donc une base de F.

g) la je coince un peu... avez vous des pistes a me donner ?

[invitec053041c]

Quelle est la dimension de IR^3 ? ...

[invite51b91b54]

R³ est de dimension 3
donc A qui est de dimension 2 ne peut pas etre une base de R³

oki merci pour tout

[invitebe0cd90e]

R³ est de dimension 3
donc A qui est de dimension 2 ne peut pas etre une base de R³

oki merci pour tout

Je chipote, mais plus exactement l'espace vectoriel dont une base est A est de dimension 2. Je ne crois pas qu'on parle de dimension d'un base, sauf par abus de langage a eviter a mon avis.

[invite51b91b54]

Je chipote, mais plus exactement l'espace vectoriel dont une base est A est de dimension 2. Je ne crois pas qu'on parle de dimension d'un base, sauf par abus de langage a éviter a mon avis.

Mais tu fais bien de chipoter. Merci pour la remarque

[invite51b91b54]

A est une famille composée de 2 vecteurs peut uniquement être une base d'un espace vectorielle de dimension 2.
Or R3 est de dimensions 3 et donc A ne peut pas etre une base de R3

Il y a du mieux ?

[invitebe0cd90e]

A est une famille composée de 2 vecteurs peut uniquement être une base d'un espace vectorielle de dimension 2.
Or R3 est de dimensions 3 et donc A ne peut pas etre une base de R3

Il y a du mieux ?

Oui, c'est ca !