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espaces vectoriels



  1. #1
    fusionfroide

    espaces vectoriels


    ------

    salut, pouvez vous m'aider à résoudre cet exo de colle que j'ai aujourd'hui svp ? (il faut dire qu'il ne m'a pas porté chance -_-")

    Soit (donc f est linéaire).

    Montrer que si alors

    En fait, j'ai aucune idée quant à ce qu'il faut faire ( d'ailleurs pendant toute la colle, je suis resté figé au tableau sans savoir par quoi commencer )

    Merci

    -----

  2. #2
    chr57

    Re : espaces vectoriels

    salut,

    en supposant que Im(f)=Im(f²), on peut montrer par double inclusion ton égalité:

    prends un élément x appartenant à Im(f)+Ker(f) (traduis ce que cela veut dire) et montre qu'il appartient à E.
    De même pour l'inclusion réciproque.

    Cordialement,

    chr57.
    Comment identifier un doute avec certitude ?, R.Devos.

  3. #3
    Bleyblue

    Re : espaces vectoriels

    salut,

    Si tu prends v quelconque appartenant à E alors f(v) = f(f(w)) pour un w appartenant à V.
    Alors f(v - f(w)) = 0 donc v - f(w) = k avec k appartenant au noyau et c'est fini

  4. #4
    Bleyblue

    Re : espaces vectoriels

    J'ai oublié de le préciser mais dire que E = ker(f) + im(f) ça veut dire que quelque soit v appartenant à E il s'écrit v = a + b a appartenant au noyau de f et b appartenant à l'image de f (c'est bien ce que j'ai montré dans mon message ci dessus)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    fusionfroide

    Re : espaces vectoriels

    ok mais je pense aussi qu'il faut faire une double inclusion non ?

    Puis c'est quoi V ? v est un élément de E mais V ?
    Dernière modification par fusionfroide ; 21/02/2008 à 19h35.

  7. #6
    Bleyblue

    Re : espaces vectoriels

    V c'est E pardon (j'ai pas l'habitude d'appeler E un vectoriel)

    Ce que je t'ai donné assure la 1er inclusion, la deuxième est on ne peut plus évidente (pourquoi ?)

  8. #7
    fusionfroide

    Re : espaces vectoriels

    heu....a vrai dire ce n'est pas évident pour moi

  9. #8
    Bleyblue

    Re : espaces vectoriels

    On a montré que E est inclu dans ker(f) + im(f).
    Reste à montrer que ker(f) + im(f) est inclu dans E.

    Qu'est ce que A + B si A et B sont des sous-vectoriels de E ?

  10. #9
    fusionfroide

    Re : espaces vectoriels

    et sont deux sous-espaces vectoriels donc est aussi un sous espace vectoriel

    Donc pour tout appartenant à alors appartient à

  11. #10
    Bleyblue

    Re : espaces vectoriels

    Heu, c'est bizarre ce que tu as écris

    Ce que je voulais dire c'est que ker(f) + im(f) = {a + b | a dans l'image et b dans le noyau} donc c'est d'office inclu à E car E est un vectoriel et x + y appartient à E pour tout x,y de E.

  12. #11
    fusionfroide

    Re : espaces vectoriels

    ok merci pour l'aide !


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