Bonjour,
Je dois résoudre le problème suivant : j'ai une matrice symétrique que je veux transformer en une matrice symétrique définie positive (i.e. toutes ses valeurs propres sont positives) la plus proche possible de ma matrice symétrique de départ. Il s'agit donc a priori de projection. Tout ça est très lointain pour moi et je ne sais plus trop comment m'y prendre.
Si quelqu'un peut m'aider, ce serait vraiment sympa.
Merci.
Bonjour et bienvenue sur le forum,
Effectivement, il s'agit de projeter ta matrice :
Comme ta matrice est symétrique, tu peux la diagonaliser en base orthonormale. Suppose que w1,..,wk correspondent aux valeurs propres positives strictes, et w(k+1),...,wn aux autres.
Tu n'as plus qu'à faire mumuse sur chaque w_j pour j >k, et tu vas bien vite obtenir ce que tu cherches.
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rvz
Merci pour ton message rapide et clair !
Je n'arrive pas à me convaincre qu'en ne faisant mumuse que sur les valeurs propres négatives, on obtiendra la matrice sym def po la plus proche possible de ma matrice sym initiale.
Mais je comprends ton idée de minimiser la distance entre les deux matrices sous la contrainte des w_j pour j>k positives.
Un grand Merci pour ton aide.
a+
Oui, peut-être que je n'ai pas assez insisté sur le fait que les vecteurs propres étaient orthogonaux.
Cela dit, je ne sais pas s'il existe une matrice qui minimise la distance aux matrices symétriques définies positives.
En effet, considère
1 0
0,-1
On va tomber plutot sur
(1 0)
(0 a) avec a très petit.
En gros, je recommenderai plutot de se placer sur les symétriques positives, et c'est tout.
(Une autre manière de dire est la suivante : L'ensemble des matrices symétriques définies positives n'est pas fermé....)
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rvz
Effectivement, il vaut mieux se placer sur l'ensemble des matrices simplement symétriques positives pour que la projection existe (et dans ton exemple, a vaut alors 0).
Pour info, on rencontre ce problème lorsqu'on veut simuler un vecteur gaussien caractérisé par une matrice de corrélation C (cette matrice est symétrique).
Pour cela, on doit calculer la "racine" de C (i.e. A / tA.A = C) qui n'existe que si C est définie positive. Lorsque ça n'est pas le cas, on doit approcher C par une matrice symétrique définie positive...
Pour terminer, ne penses-tu pas qu'il faille simplement remplacer les termes négatifs de la diagonale par zéro et P.D.P-1 donne alors la solution au problème de départ ?
Absolument.
Juste une dernière remarque : Il existe toujours une matrice symétrique positive racine carrée d'une matrice symétrique positive. Pas besoin de supposer défini positive. La preuve pour l'existence se fait en se plaçant dans une base où la matrice est diagonale. Pour l'unicité, il suffit de prendre les vecteurs propres pour voir que ça marche bien parce qu'on cherche une matrice positive symétrique.
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rvz
