Simplicité des valeurs propres d'un opérateur intégrale

[invite412f80f3]

Bonjour,
J'ai une question qui me gene et j'ai besoin d'un coup de pouce, n'hésitez pas de me donner votre avis concernant le raisonnement que je vais faire et surtout une idée concernant la question que je poserai.
On se donne l'opérateur intégrale défini par:

où sont deux points de , et est le disque unité de
Il est bien claire que l'opérateur est un opérateur de Hilbert Schmidt et par conséquent il admet une infinité dénombrable de fonction propres qui forment une base de . Ma question porte sur la simplicité des valeurs propres des fonctions propres de . C'est à dire si je me donne une fonction propre g de dont la valeur propre est . La question est: est elle simple?
Merci bien davantage pour vos remarques et commentaires.
-----

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Un avis comme ça :

1/ Ca ressemble très fort à du fourier ton truc. Si c'est le cas, tu peux peut-être montrer que c'est solution d'une edp type -laplacien ( Q_c( f)) = \lambda f puis regarder les théorèmes de type continuation unique.

2/ J'ai l'impression que pour f pas trop moche, Q(f) est analytique. En tout cas, c'est presque sûr que c'est vrai pour une fonction propre. Si c'est bien le cas, toute fonction propre est analytique, et donc tu peux regarder les équations que doivent satisfaire les coefficients du développement de Taylor. Sauf erreur, tu n'obtiendras qu'un degré de liberté et donc victoire

__
rvz, pas sûr, mais optimiste.

[invite412f80f3]

Merci bien rvz pour ta réponse,
je suis bien d'accord avec toi que les fonctions propres de mon opérateur sont bien analytiques et parsuiten développable en série entière. Mais comment ça se développe une fonction à deux variables en séries entière?
Je le sais pour le cas ou f est à une seule variable.
Merci encore une autre fois

[invite6b1e2c2e]

f est analytique en la variable x signifie que tu peux developper en polynôme infini en deux variables.

Bon courage,
rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite412f80f3]

Merci bien pour la réponse. Juste pour mettre les points sur les i. Si f est une fonction analytique réelle à deux variables x et y alors f est développable en série entiere et on a l'égalité suivante.

Jeveux une réctification si je me trompe
merci à tous