Bonjour,
Soit un une suite décroissante qui converge vers 0.
1) On suppose que la somme de uk converge, montrer que lim n un = 0
n-> + inf
2) Montrer que les séries de termes généraux un et vn := n (un - un+1) sont de même nature. (On pourra montrer que somme de un converge ssi somme de vn converge) Comparer leur somme en cas de convergence.
J'ai résolu le 1) mais j'aurais besoin d'aide pour le 2).
voici ce que j'ai commencé à faire pour le 2) et j'aimerais beaucoup savoir si c'est juste et sinon pourquoi.
On veut démontrer que si Somme (abbrégé S) de uk converge, alors S vk converge également.
un est décroissante donc un+1 <= c
et elle converge vers 0 donc lim un = lim un+1 = 0 lorsque n-> +infini
Pour tout µ > 0, il existe M € N, pour tout n >= M, n*un+1 <= n*un <= µ
or vn = n un - n un+1
donc lim vn = 0
vn satisfait donc à la condition nécessaire pour que la série S vk converge.
S vn = S n ( un - un+1 ) = S n un - S n un+1
or S uk converge et modifier un nombre fini des termes d'une série ne change pas sa nature donc S n un et S n un+1 convergent aussi donc S vn converge.
Pour prouver que si S vn converge alors S un converge, j'ai un peu tout retourner et voici des éléments de réponse (sans la preuve complète) :
-lim un = lim un+1=0 donc lim un - un+1 = 0
- Comme vk converge, lim n(un-un+1)= 0
- S n*un - S n*un+1 converge vers la même limite que S vk
Merci pour toute l'aide que vous pourrez m'apporter.
A part ça, et je ne sais pas trop si ça mériterait un post à part, j'ai un exercice dont voici l'énoncé :
Montrer que Intégral de 0 à 1 de ta-1/ ( 1+tb ) dt = Somme de n= 0 à l'infini de (-1)n / ( nb+a )
avec a > 0 et b > 0
J'ai bien une partie intitulée Comparaison Série-Intégrale dans mon cours mais je ne sais pas comment l'utiliser. L'idéal serait de me dire les théorèmes à appliquer et/ou l'idée de la démonstration.
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