L2 Analyse séries de même nature et suite / intégrale

[invitecc431092]

Bonjour,

Soit u_n une suite décroissante qui converge vers 0.
1) On suppose que la somme de u_k converge, montrer que lim n u_n = 0
n-> + inf

2) Montrer que les séries de termes généraux un et vn := n (u_n - u_n+1) sont de même nature. (On pourra montrer que somme de un converge ssi somme de v_n converge) Comparer leur somme en cas de convergence.

J'ai résolu le 1) mais j'aurais besoin d'aide pour le 2).
voici ce que j'ai commencé à faire pour le 2) et j'aimerais beaucoup savoir si c'est juste et sinon pourquoi.

On veut démontrer que si Somme (abbrégé S) de u_k converge, alors S v_k converge également.

u_n est décroissante donc u_n+1 <= c
et elle converge vers 0 donc lim u_n = lim u_n+1 = 0 lorsque n-> +infini
Pour tout µ > 0, il existe M € N, pour tout n >= M, n*u_n+1 <= n*u_n <= µ
or v_n = n u_n - n u_n+1
donc lim v_n = 0

v_n satisfait donc à la condition nécessaire pour que la série S v_k converge.

S v_n = S n ( u_n - u_n+1 ) = S n u_n - S n u_n+1
or S u_k converge et modifier un nombre fini des termes d'une série ne change pas sa nature donc S n u_n et S n u_n+1 convergent aussi donc S v_n converge.

Pour prouver que si S v_n converge alors S u_n converge, j'ai un peu tout retourner et voici des éléments de réponse (sans la preuve complète) :
-lim u_n = lim u_n+1=0 donc lim u_n - u_n+1 = 0
- Comme v_k converge, lim n(u_n-u_n+1)= 0
- S n*u_n - S n*u_n+1 converge vers la même limite que S v_k

Merci pour toute l'aide que vous pourrez m'apporter.






A part ça, et je ne sais pas trop si ça mériterait un post à part, j'ai un exercice dont voici l'énoncé :

Montrer que Intégral de 0 à 1 de t^a-1/ ( 1+t^b ) dt = Somme de n= 0 à l'infini de (-1)ⁿ / ( nb+a )
avec a > 0 et b > 0

J'ai bien une partie intitulée Comparaison Série-Intégrale dans mon cours mais je ne sais pas comment l'utiliser. L'idéal serait de me dire les théorèmes à appliquer et/ou l'idée de la démonstration.
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