ellipses - intégration - 2ème loi de Képler

[invite2a6b8224]

Petits rappels d'astronomie pour situer le contexte.
1ère loi de Képler: toute planète circule autour du Soleil en formant une ellipse dont le Soleil occupe un des foyers.
2ème loi de Képler (dite aussi loi des aires): le temps pris pour passer d'un point à un autre de l'ellipse est proportionnel à l'aire de l'ellipse qu'il y a entre le Soleil et ces deux points.
Le calcul exact de cette aire est l'objet de cette question.
Il y sûrement une formule adéquate mais je ne la connais pas. Alors jusqu'à présent, pour le calcul de l'heure solaire vraie d'un point de la surface terrestre, j'ai calculé ces aires par triangulation, ce qui donne une bonne approximation.
Je souhaite m'attaquer à de tels calculs pour Mars, qui est bien plus excentrique (son ellipse est plus aplatie) et pour laquelle cette approximation risque donc de ne plus être correcte.
Merci si quelqu'un connaît la réponse, de me la donner ...
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[invite2a6b8224]

Question nulle et non avenue, apparemment.
Bon, ainsi soit-il. Je croyais que c'était basique mais je me suis trompé.
Ok.

[zoup1]

La conservation du moment cinétique donne directement que l'aire balayée par unité de temps est égale au moment cinétique du système divisée par la masse réduite du système divisée par 2.

soit

Ensuite, il te faut éventuellement relié le moment cinétique du système aux paramètres géométriques qui t'interessent.

Par exemple d'après ce site tu peux le relier au paramètre de l'éllipse , au demi grand axe et au demi petit axe et à la période de parcours de l'éllipse ... ou aller plus loin en ajoutant plus de physique... et en l'adaptant à ce que tu veux faire...

[invite2a6b8224]

En fait, je veux tout simplement savoir combien de temps il faut à une planète pour passer d'un point de son ellipse à un autre, sachant l'excentricité de cette planète.
J'ai l'ellipse et la position du Soleil dans cette ellipse.
Reste à pouvoir calculer avec précision l'aire entre le Soleil et deux points successifs de l'ellipse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[zoup1]

Bon, j'ai pas a priori la réponse à ta question, mais on peut essayer d'y réfléchir ensemble...
- Quand tu dis :

j'ai l'ellipse et la position du Soleil dans cette ellipse,

qu'est-ce que cela veut dire ? L'ellipse est par exemple caractériser par un son excentricité et par le paramètre de l'éllipse . Il faut aussi une orientation à ton ellipse et une origine. Le plus simple est de choisir l'origine d'un repère sur l'un des foyers de l'ellipse (le soleil) et une origine des angles (ou l'axe des x) suivant le grand axe de l'ellipse.
- Quand tu dis :

deux points successifs de l'ellipse

comment sont repérés ces 2 points ? par un abscisse curviligne, par un angle, par une position dans un repère cartésien, par le paramètre qui défini l'ellipse dans la relation polaire

[invitea0046ad4]

Pour exprimer la position d'une planète en fonction du temps, il faut résoudre l'équation de Kepler, ce qui ne se fait que par approximations successives (pas de solution explicite).

http://www.google.fr/url?sa=t&ct=res...SnGaDORo744LcC

On obtient ainsi l'anomalie excentrique (par rapport au centre de l'ellipse) en fonction du temps.
Dans la pratique, on peut se contenter d'un développement limité pour avoir une formule directe, car les excentricité sont assez faibles. Pour Mars, un développement à l'ordre 3 est largement suffisant.

A+

[invitea0046ad4]

Et hop, voici les coefficients du développement :
http://www.xylem.f2s.com/kepler/kepler.html

A+

[invite2a6b8224]

Merci pour ces liens.
Je rêvais d'une fonction toute simple, qui donnerait la proportion de temps correspondant à un angle de l'ellipse. C'est plus compliqué à première vue mais, tout de même, il semblerait que ce soit jouable. Je vais essayer de digérer ça ...

[invitea0046ad4]

Merci pour ces liens.
Je rêvais d'une fonction toute simple, qui donnerait la proportion de temps correspondant à un angle de l'ellipse. C'est plus compliqué à première vue mais, tout de même, il semblerait que ce soit jouable. Je vais essayer de digérer ça ...

Salut
Mais si, dans ce sens là, c'est très simple : t s'exprime facilement en fonction de l'anomalie excentrique, c'est l'inversion de la formule qui demande une resolution itérative.
Tu as : M = phi - e.sin(phi)
Ensuite, t se déduit de M (fonction affine)
Une fois que tu as l'anomalie excentrique, une petite formule de trigo pour repasser dans le repère du foyer.

A+

[invite4793db90]

Le calcul exact de cette aire est l'objet de cette question.

Salut,

état donnée une ellipse de paramètre p et d'excentricité e, l'aire du secteur délimité par les angles et et de sommet l'origine (un des foyers pour la conique considérée, d'équation polaire ) vaut, après calculs et sauf erreur:



Inutile de préciser que ce n'est pas très simple à intégrer en général.

Cordialement.

[invitea0046ad4]

Oui, effectivement, on peut aussi passer par là.
On a bien une primitive connue pour cette intégrale, mais c'est plus compliqué parce qu'on ne travaille pas avec la bonne variable.
Le calcul en passant par l'anomalie excentrique est bien plus simple, ce qui revient à faire un changement de variable. C'est la méthode habituelle en astronomie.

A+

[invite2a6b8224]

Merci de toutes vos lumières.
Question: le "paramètre" ... qu'est-ce exactement ?
Mon ellipse est caractérisée:
- (évidemment) par une excentricité;
- et par un demi grand-axe.
Je mesure l'angle par rapport au périhélie. A chaque année, pour la Terre, on sait l'instant du périhélie (vers le 3 ou 4 janvier). Reste à reporter une année anomalistique type sur le calendrier de l'année tropique, pour pouvoir calculer précisément le temps solaire vrai (en fonction du temps sidéral) ainsi que les angles caractéristiques tels que celui traduisant l'avancée des saisons.
Le but est donc de connaître une année anomalistique type et c'est ce à quoi je vais m'employer grâce à vos informations.

[invite4793db90]

Salut,

le paramètre p d'une ellipse est le rapport b²/a où a est le demi-grand-axe et b est le demi-petit-axe.

Cordialement.

[invite2a6b8224]

Mes conclusions ...
Point de départ: L'anomalie excentrique
= angle entre périhélie, centre de l'ellipse et point:
-> d'un cercle virtuel centré sur le centre de l'ellipse et ayant pour rayon le demi-grand axe (il passe donc par le périhélie);
-> qui serait celui occupé par la planète si elle occupait un cercle, tel que figuré dans un schéma cfr un des liens donnés par lambda0.
Eh bien ... l'anomalie excentrique, ça correspond (après réflexion) au problème de situer une planète dans le ciel, mais ça ne correspond pas à celui d'appliquer la 2ème loi de Képler pour prévoir son avancement.
En effet, seule l'ellipse effectivement parcourue compte ! Les deux angles intéressants impliquent tous les deux un point de l'ellipse et le périhélie; ils sont l'un centré sur le centre de l'ellipse et l'autre sur le foyer qui est occupé par le Soleil.
DONC ... la formule citée par Martini-bird est celle à appliquer.
OR ...
1) il me reste à m'assurer que l'angle théta pris dans cette formule, c'est bien l'angle entre Soleil, planète et périhélie;
(et non, entre centre de l'ellipse, planète et périhélie)
2) comment intégrer cette formule ?? Je vois que lambda0 a une idée à ce sujet, merci de me faire connaître la primitive en question !!!! ...
Ma méthode jusqu'à présent, qui fonctionne bien mais qui est très laborieuse, c'est une intégration pure et dure ... et encore pire que ça, je n'intègre pas en fonction de la formule en question mais selon des aires calculées par triangulation. (Mon PC est à peu près KO et je suis donc limité en nombre d'instants-angles calculables.)

[invite2a6b8224]

état donnée une ellipse de paramètre p et d'excentricité e, l'aire du secteur délimité par les angles et et de sommet l'origine (un des foyers pour la conique considérée, d'équation polaire ) vaut, après calculs et sauf erreur:


Inutile de préciser que ce n'est pas très simple à intégrer en général.

Y a-t-il une primitive ?
Je crois savoir que oui mais j'ignore laquelle.
Merci ...

[invite2a6b8224]

Oui, effectivement, on peut aussi passer par là.
On a bien une primitive connue pour cette intégrale, mais c'est plus compliqué parce qu'on ne travaille pas avec la bonne variable.

Mais si, mais si, dans le problème qui me concerne.
Il ne s'agit pas de repérer une planète par rapport à une autre, mais l'écoulement du temps par rapport au temps sidéral d'une planète.

[invitebbdbf477]

Y a-t-il une primitive ?
Je crois savoir que oui mais j'ignore laquelle.
Merci ...

Toute fonction continue (et encore, c'est une hypothèse trop forte) sur un intervalle admet une (infinité de) primitives sur cet intervalle. Maintenant, on ne peut pas toujours les exprimer à l'aide des fonctions usuelles. Cela dit, dans le cas d'une fonction rationnelle en comme ici, c'est possible, par exemple à l'aide des règles de Bioche.

[invitea0046ad4]

Mes conclusions ...
Point de départ: L'anomalie excentrique
= angle entre périhélie, centre de l'ellipse et point:
-> d'un cercle virtuel centré sur le centre de l'ellipse et ayant pour rayon le demi-grand axe (il passe donc par le périhélie);
-> qui serait celui occupé par la planète si elle occupait un cercle, tel que figuré dans un schéma cfr un des liens donnés par lambda0.
Eh bien ... l'anomalie excentrique, ça correspond (après réflexion) au problème de situer une planète dans le ciel, mais ça ne correspond pas à celui d'appliquer la 2ème loi de Képler pour prévoir son avancement.
En effet, seule l'ellipse effectivement parcourue compte ! Les deux angles intéressants impliquent tous les deux un point de l'ellipse et le périhélie; ils sont l'un centré sur le centre de l'ellipse et l'autre sur le foyer qui est occupé par le Soleil.
DONC ... la formule citée par Martini-bird est celle à appliquer.
OR ...
1) il me reste à m'assurer que l'angle théta pris dans cette formule, c'est bien l'angle entre Soleil, planète et périhélie;
(et non, entre centre de l'ellipse, planète et périhélie)
2) comment intégrer cette formule ?? Je vois que lambda0 a une idée à ce sujet, merci de me faire connaître la primitive en question !!!! ...
Ma méthode jusqu'à présent, qui fonctionne bien mais qui est très laborieuse, c'est une intégration pure et dure ... et encore pire que ça, je n'intègre pas en fonction de la formule en question mais selon des aires calculées par triangulation. (Mon PC est à peu près KO et je suis donc limité en nombre d'instants-angles calculables.)

Alors, je n'ai pas du comprendre ce que tu voulais faire.
Je pensais que tu voulais calculer le temps mis par une planète pour parcourir son orbite entre 2 points quelconques de l'ellipse, définis par un angle.
Auquel cas, le calcul est assez direct, et l'anomalie excentrique est un intermédiaire de calcul.
Si tu veux absolument passer par l'intégrale exprimée en fonction de theta, ça se fait aussi, mais la formule est abominable, ça doit trainer dans les formulaires. Si tu veux le faire toi même, le changement de variable doit correspondre justement à la relation qui lie l'anomalie excentrique à l'angle polaire theta.

A+

[invite2a6b8224]

Je pensais que tu voulais calculer le temps mis par une planète pour parcourir son orbite entre 2 points quelconques de l'ellipse, définis par un angle.
Auquel cas, le calcul est assez direct, et l'anomalie excentrique est un intermédiaire de calcul.

Ce qui me bloque c'est que l'anomalie excentrique c'est un angle dont un des sommets n'est pas un des points de l'ellipse, mais un point du cercle (nuance !) qui serait formé par la planète si son parcours n'était pas elliptique.
Même en admettant que les ellipses planétaires sont pratiquement circulaires, cette approximation me semble impossible à envisager, mais je vérifierai la marge d'erreur à laquelle elle mène.

[invitea0046ad4]

Ce qui me bloque c'est que l'anomalie excentrique c'est un angle dont un des sommets n'est pas un des points de l'ellipse, mais un point du cercle (nuance !) qui serait formé par la planète si son parcours n'était pas elliptique.
Même en admettant que les ellipses planétaires sont pratiquement circulaires, cette approximation me semble impossible à envisager, mais je vérifierai la marge d'erreur à laquelle elle mène.

Mais il n'y a absolument aucune approximation !!
Le calcul est parfaitement exact, et l'anomalie excentrique est juste une variable intermédiaire.
J'ai déjà donné la démarche, mais je la redonne encore :
- Soit 2 points de l'ellipse, repérés par les angles polaires v1, v2 définis par rapport au foyer (les angles polaires habituels, quoi, qu'on appelle anomalie vraie en astronomie)
- Calculer u1, u2, anomalies excentriques correspondantes (formule de trigo, voir le 1er document que j'ai donné, tan²u/2=truc.tan²v/2)
- Ensuite, on a :
n(t1-t0) = u1 - e.sin(u1)
n(t2-t0) = u2 - e.sin(u2)
n et t0 étant des constantes dépendant de la planètes.
n est le pas, t0 définit l'origine des temps au périastre.
D'où on calcule simplement t1-t2, intervalle de temps recherché.
Ce qui demande une résolution itérative est le calcul inverse : connaitre la position de la planète en fonction du temps, mais dans ce sens là, aucune intégrale, aucune résolution itérative, résultat rigoureusement exact.

A+

[invite2a6b8224]

Merci, Lambda0, d'enfoncer le clou car ça m'a permis d'y voir plus clair.
(De formation biologiste, j'ignore le sens de termes tels qu'angle "polaire". De plus je ne voyais pas de quel "changement de variable" tu parlais.)
REPRENONS ...
a) Re-énoncé du problème
J'ai un point de l'ellipse, quelconque.
Je connais son "anomalie vraie", c'est-à-dire l'angle entre ce point, celui où était la planète au périhélie, et le Soleil.
Appelons AV cet angle.
Je sais combien de temps dure une année anomalistique (d'un périhélie au suivant).
Je veux savoir à partir de là combien de temps s'est écoulé depuis le périhélie, pour que la planète soit en ce point.
b) Calcul de l'anomalie excentrique, angle AE
Où on se sert de l'excentricité e de l'ellipse:
tg (AE/2) = tg (AV/2) * sqrt ((1+e)/(1-e))
=> AE = 2 * arctg (tg (AV/2) * sqrt ((1+e)/(1-e)))
c) Calcul de la proportion (chiffre entre 0 et 1) de l'année anomalistique, écoulée depuis le périhélie, avec AE calculé en degrés:
t/T = (AE - e * sin (AE)) / 360
Serait-ce bel et bien, d'une si révoltante simplicité ???
Dans ce cas je te dois une énorme chandelle !

[invitea0046ad4]

Merci, Lambda0, d'enfoncer le clou car ça m'a permis d'y voir plus clair.
(De formation biologiste, j'ignore le sens de termes tels qu'angle "polaire". De plus je ne voyais pas de quel "changement de variable" tu parlais.)
REPRENONS ...
a) Re-énoncé du problème
J'ai un point de l'ellipse, quelconque.
Je connais son "anomalie vraie", c'est-à-dire l'angle entre ce point, celui où était la planète au périhélie, et le Soleil.
Appelons AV cet angle.
Je sais combien de temps dure une année anomalistique (d'un périhélie au suivant).
Je veux savoir à partir de là combien de temps s'est écoulé depuis le périhélie, pour que la planète soit en ce point.
b) Calcul de l'anomalie excentrique, angle AE
Où on se sert de l'excentricité e de l'ellipse:
tg (AE/2) = tg (AV/2) * sqrt ((1+e)/(1-e))
=> AE = 2 * arctg (tg (AV/2) * sqrt ((1+e)/(1-e)))
c) Calcul de la proportion (chiffre entre 0 et 1) de l'année anomalistique, écoulée depuis le périhélie, avec AE calculé en degrés:
t/T = (AE - e * sin (AE)) / 360
Serait-ce bel et bien, d'une si révoltante simplicité ???

Ben oui. Ca date du temps où les astronomes faisaient les calculs à la main et réfléchissaient beaucoup avant de calculer numériquement d'ignobles intégrales. Si tu reprends le premier document, on écrit bien l'intégrale donnant l'aire d'une portion d'ellipse pour exprimer la loi des aires, mais on fait le changement de variable anomalie vraie->anomalie excentrique, et tout se simplifie miraculeusement.

Dans ce cas je te dois une énorme chandelle !

De rien ! Bon courage pour la suite.

[invite2a6b8224]

... Bon courage pour la suite.

La suite, c'est déjà fait en ce qui concerne la Terre.
- Cfr la page où j'explique la méthode de calcul mise au point voici quelques mois:
http://www.pensifs.com/techniques/en...visibilite.php
J'affinerai cela dès que j'en aurai le temps ...
- Une page interactive permet de calculer (c'était le but) la position du Soleil en un point de la surface terrestre selon ses coordonnées ainsi que quelques repères au cours de la journée solaire en cours (ou de la prochaine).
http://www.pensifs.com/techniques/en...formulaire.php
- En prévision: application d'une méthode similaire, incluant le passage par l'anomalie excentrique, aux trois autres planètes telluriques.

[invite2a6b8224]

Je viens de mettre à jour la page
http://www.pensifs.com/techniques/en...visibilite.php
où, cette fois, sont intégrées les formules en question.
=> Affichage possible des heures solaires vraies sur 24 heures par tranches d'un quart d'heure, en tout point, avec formulaire pour indiquer latitude et longitude en bas de page.
Calculs précis à la minute près ... "Qui dit mieux" ??
(Etape suivante, appliquer ça à Mars ...)

[invited6525aa8]

Bonjour ! Je remonte ce sujet car j'aimerais savoir d'où viens cette formule ?? Comment a-t-elle été obtenue :

Merci de vos réponses. (je manipule assez bien les formules concernant l'ellipse, mais je ne comprend pas celle-la)

[invited6525aa8]

C'est bon, j'ai trouvé

En fait, il fallait utiliser le produit vectoriel (et non le scalaire)

ça donne :


A+