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Loi des aires de Kepler



  1. #1
    Trainskill

    Loi des aires de Kepler


    ------

    Salut à tous,

    J'ai une question par rapport à la Loi des aires de Kepler.

    On nous dit que si un mobile est soumis à l'action d'une force centrale F, le moment vectoriel R^F = 0 (cf. dessin).


    Mon premier raisonnement est de me dire que comme un calcul vectoriel est sensé définir une aire, le "moment" vectoriel R^F est nul car il n'y a aucun angle entre R et F (aucune aire balayée et donc un résultat nul).

    Est-ce que le raisonnement est correct ou faut-il aller plus loin que ça ?

    Merci

    -----
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  2. #2
    Trainskill

    Re : moment vectoriel R^F

    Ensuite,

    en considérant que F = ma, (a étant l'accélération radiale) et R^F=0, on dit que R^V = cte.
    On pense pouvoir expliquer ca intuitivement mais pas par calcul.
    La loi de Képler dit que pour des intervalles de temps égaux, l'aire balayée par le mobile sur l'ellipse reste la même. R^V = Cte est selon nous une manière mathématique d'expliquer cela. Quand la distance entre le mobile et le foyer de l'ellipse augmente, la vitesse diminue et quand la distance diminue, la vitesse augmente de telle sorte que l'aire reste constante. Nous avons montré par observation que l'aire reste la même.

    Est-ce que cette approche est correcte? Pourriez-vous nous donner des clés pour résoudre cela mathématiquement mais simplement (niveau de terminale).

    Attendez c'est pas fini

    On a ensuite: le moment cinétique r^p = r ^mv est conservé. Nous devons déduire la loi des aires (Delta S / Delta T= Cte) en sachant que

    Delta S = 1/2 * r^v * Delta T.

    Nous avons procédé de la manière suivante: divisé des deux cotés par Delta T. Ainsi on obtient
    Delta S / Delta T= 1/2 * r^v. Or, on vient de prouver que r^v = Cte. Cte * 1/2 est toujours une constante donc nous avons (semble t-il trouvé ce que nous cherchions)

    Est-ce juste?

    Merci.

  3. #3
    Coincoin

    Re : moment vectoriel R^F

    Salut,
    Tu peux effectivement dire ça comme ça. Mais c'est plus simple de retenir que le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul (de même que le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul).
    Encore une victoire de Canard !

  4. #4
    Trainskill

    Re : moment vectoriel R^F

    Si le post pouvait être renommé:

    "Loi des aires de Képler"

    Ca serait plus précis, merci.

    bonjour,

    Selon le shéma 2, on nous demande de vérifier que les composantes de l'accélération selon le système x;y (axes perpendiculaires) ont les valeurs approchées suivantes:

    a(x) = -g*x/ l
    a(y) = -g*y/ l

    l étant la longueur du fil du pendule. L'ellipse du shéma est elle l'approximation de la surface d'oscillation du pendule sphérique (pour vérifier donc la loi des aires de Képler).

    Où:
    (V signifie "racine de")
    w = V(g/l)

    la période du pendule P est: P = 2pi/w
    (donc P = 2pi*V(l/g))


    Alors par contre on ne sait pas du tout quoi faire pour cette vérification. Faut-il isoler g et ensuite l'inclure dans
    a(x) = -g*x/ l ? Sachant que nous avonc préalablement mesuré la période P.



    Ensuite il est dit que nous avons les conditions initiales suivante (selon le shéma 2):

    x(t)=0 => x(0)=0 => 0

    v(0x)=v
    y(0) = B
    v(0y)=0

    le mouvement périodique est représenté par le système d'équation:

    x = a*sin(wt)
    y = b*cos(wt)

    grâce aux conditions initiales on est sensé trouver:

    (xw/v) + (y/B) = 1

    Mais on a beau essayer de remplayer x par a*sin(wt) et ainsi de suite, on ne trouve jamais se résultat.

    Alors quel instant t doit-on prendre ? (1 seconde ?, ou alors le t mesuré dans l'expérience ?)

    Si vous pouviez nous guider dans le raisonnement ça nous aiderait beaucoup. Et accéssoirement s'il était possible de lire notre réponse juste avant celle de Coincoin, car il nous a guidé dans notre première question pendant qu'on postait le deuxième message.


    Nous vous remercions d'avance. Nous ne demandons evidemment pas de réponses mais le prof nous avait bien prévenu que c'était un sujet assez ardu pour notre niveau, donc nous recherchons quelques pistes, ou alors que les notres soient un peu jugées selon leur validité.

    Merci encore d'avance.
    Images attachées Images attachées  

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Trainskill

    Re : moment vectoriel R^F

    Citation Envoyé par Trainskill Voir le message
    (x2w2/v2) + (y2/B2) = 1


    C'est plutôt ça la formule, j'ai mal utilisé les balises.

  7. #6
    Trainskill

    Re : moment vectoriel R^F

    Nous pensons de plus avoir trouvé la solution:

    Selon le shéma 2, nous voyons que la valeur de x vaut 0. Ce qui donne:

    (02w2/v2) + (B2/B2) = 1

    vu que Y est égal à B.

    Ce qui nous donne exactement: 0/v2 + B2/B2 = 1

    donc:

    0 + 1 = 1


    C.Q.F.D ? ^^

  8. #7
    Trainskill

    Re : moment vectoriel R^F

    Un autre problème est que x vaut 0 seulement lorsque B est sur l'axe y, ce qui fait que ce que nous avons trouvé ne marche pas tout au long de la période mais seulement quand x vaut 0.

    Nous ne savons donc pas dans quelle direction aller...

    Merci.

  9. #8
    Trainskill

    Re : moment vectoriel R^F

    nous avons pensé à autre chose:

    Et si c'était plutôt w qui vallait 0, en effet un travail effectué dans une trajectoire fermée (type ellipse) à partir du moment où le mobile revient à sa position de départ, il n'y a pas de travail.

    w vaut donc 0, alors la formule vaut 1.


    Seulement, Y n'est pas toujours égal à B, vu que c'est une trajectoire elliptique. On se demande alors si la formule ne considère pas juste le point de départ (et donc d'arrivée) de la période sur l'ellipse. Y vaut alors bien B.

  10. #9
    Trainskill

    Re : Loi des aires de Kepler

    Ca n'inspire vraiment personne ?

  11. #10
    Paranoid

    Re : Loi des aires de Kepler

    En rappelant que nous ne demandons pas de réponses mais juste des indices pour être guidé

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