Un lieu géométrique dans C

[invite42abb461]

Bonjour, je cherche a décrire, dans le plan complexe, le lieu des nombres complexes u= 1 + z + z², où z décrit le cercle unité. Je ne suis pas bien sur de comprendre l'énoncé. J'ai essayé de poser z=rexp(itheta), puis de développer et de passer en formules trigo mais je ne sais pas trop ou aller comme cela...
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[invite74530667]

salut, tu peux commencer à chercher pour et translater ensuite d'une unité vers la droite pour obtenir ta réponse.

On considère donc où l'on sait que z décrit le cercle unité:
Or décrit le cercle de centre 1 et de rayon 1, qui passe par zero.
Donc si on note , on sait d'apres le théorème de l'angle inscrit que .
Donc
Reste à trouver r en fonction de , qui se fait aisément par Pythagore; je te le laisse faire.

[invite74530667]

arf, on n'a que 5 min pour corriger son code latex; mdr j'ai dépassé
bon ben je laisse le soin au lecteur de s'y retrouver alors

[inviteaf1870ed]

Puisque z est sur le cercle unité, z=exp(itheta), donc 1+z+z² est simplement la somme d'une série géométrique de raison exp(itheta).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite42abb461]

Oui mais cela ne me donne pas directement le lieu de cette somme si ?

[invitea3eb043e]

Ca peut te donner x et y en fonction de téta et avec Excel une très jolie courbe.

[inviteaf1870ed]

Mais ladite courbe étant assez remarquable, il y a vraisemblablement un argument géométrique qui m'échappe. De mon temps on n'en faisait pratiquement pas...