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Un lieu géométrique dans C



  1. #1
    Gpadide

    Un lieu géométrique dans C


    ------

    Bonjour, je cherche a décrire, dans le plan complexe, le lieu des nombres complexes u= 1 + z + z², où z décrit le cercle unité. Je ne suis pas bien sur de comprendre l'énoncé. J'ai essayé de poser z=rexp(itheta), puis de développer et de passer en formules trigo mais je ne sais pas trop ou aller comme cela...

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  3. #2
    memphisto

    Re : Un lieu géométrique dans C

    salut, tu peux commencer à chercher pour et translater ensuite d'une unité vers la droite pour obtenir ta réponse.

    On considère donc où l'on sait que z décrit le cercle unité:
    Or décrit le cercle de centre 1 et de rayon 1, qui passe par zero.
    Donc si on note , on sait d'apres le théorème de l'angle inscrit que .
    Donc
    Reste à trouver r en fonction de , qui se fait aisément par Pythagore; je te le laisse faire.
    Dernière modification par memphisto ; 17/05/2007 à 05h21.

  4. #3
    memphisto

    Re : Un lieu géométrique dans C

    arf, on n'a que 5 min pour corriger son code latex; mdr j'ai dépassé
    bon ben je laisse le soin au lecteur de s'y retrouver alors

  5. #4
    ericcc

    Re : Un lieu géométrique dans C

    Puisque z est sur le cercle unité, z=exp(itheta), donc 1+z+z² est simplement la somme d'une série géométrique de raison exp(itheta).

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Gpadide

    Re : Un lieu géométrique dans C

    Oui mais cela ne me donne pas directement le lieu de cette somme si ?

  8. #6
    Jeanpaul

    Re : Un lieu géométrique dans C

    Ca peut te donner x et y en fonction de téta et avec Excel une très jolie courbe.

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  10. #7
    ericcc

    Re : Un lieu géométrique dans C

    Mais ladite courbe étant assez remarquable, il y a vraisemblablement un argument géométrique qui m'échappe. De mon temps on n'en faisait pratiquement pas...

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