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Extréma locaux



  1. #1
    Ademma

    Extréma locaux


    ------

    Bonjour!
    j'aimerais savoir si pour déterminer les extréma locaux d'une fonction je peux chercher les points où la dérivée de cette fonction est nulle?
    Exemple:
    Si je dois déterminer les extréma locaux sur R2 de la fonction f(x,y) = x4 + y4 - 4xy
    je peux chercher la dérivée f'(x,y) et résoudre f'(x,y) = 0
    Merci

    -----
    Emma

  2. Publicité
  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Extréma locaux

    Il faut annuler les dérivées partielles par rapport à x et à y.

  4. #3
    invite43219988

    Re : Extréma locaux

    Oui mais attention, ce n'est pas parce que la différentielle s'annule en (a,b) que (a,b) est un extrêmum local, il faut calculer la Hessienne pour s'en assurer !

  5. #4
    Ademma

    Re : Extréma locaux

    Lorsque j'annule les dérivées partielles par rapport à x et y, voici ce que je trouve et cela ne me semble par correct.
    = 4x3 - 4y
    et je pose 4x3 - 4y = 0
    x3 = Y
    et pour la dérivée partielle de f par rapport à Y je trouve
    4y3-4x = 0
    y3 = x
    Et là je ne vois toujours pas les extréma locaux.
    merci
    Emma

  6. #5
    invite43219988

    Re : Extréma locaux

    On a :
    df=(4x^3-4y)dx+(4y^3-4x)dy

    Il faut résoudre le système :
    4x^3-4y=0
    4y^3-4x=0

    x^3=y
    y^3=x

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jeanpaul

    Re : Extréma locaux

    Citation Envoyé par Ademma Voir le message
    Lorsque j'annule les dérivées partielles par rapport à x et y, voici ce que je trouve et cela ne me semble par correct.
    = 4x3 - 4y
    et je pose 4x3 - 4y = 0
    x3 = Y
    et pour la dérivée partielle de f par rapport à Y je trouve
    4y3-4x = 0
    y3 = x
    Et là je ne vois toujours pas les extréma locaux.
    merci
    Pas trop dur de voir que ça fait les points (0,0), (1,1) et (-1,-1).
    Ensuite il faut un peu regarder au voisinage de ces points pour s'assurer que ce sont des extrema.

  9. Publicité
  10. #7
    Ademma

    Re : Extréma locaux

    J'ai essayé de résoudre cela mais je ne sais le faire qu'avec une variable est que je peux faire par exple
    x3= y
    poser X =u+v
    (u+v)3=Y et ici y est une cste.
    Emma

  11. #8
    Romain-des-Bois

    Re : Extréma locaux

    Si tu poses :
    r=d²f/dx²
    s=d²f/dxdy
    t=d²f/dy²

    il suffit de regarder le signe de s²-rt pour savoir s'il s'agit d'un max ou d'un min local.
    Seul problème, si c'est nul, on ne peut pas conclure... il faut faire une étude locale (Taylor de 2 variables).

    Romain

  12. #9
    Ademma

    Re : Extréma locaux

    Merci Jean Paul, et au risque de passer pour une idiote c'est très dur pour moi de voir les points qui semblent si évident, il y en a qui voit en maths et les autres. Moi j'ai besoin de comprendre. Alors si tu peux m'expliquer comment tu as résolu le système ce serait vraiment sympa!
    Emma

  13. #10
    Ademma

    Re : Extréma locaux

    Merci Romain, j'ai compris enfin!
    Emma

  14. #11
    Romain-des-Bois

    Re : Extréma locaux

    Je précise un peu, toujours avec les mêmes notations (dont j'ai oublié le nom d'ailleurs - Binet ?)

    si en (x,y) s²-rt > 0, alors (x,y) n'est pas un extrêmum

    si en (x,y) s²-rt < 0, alors (x,y) est un extrêmum local et si r<0 c'est un max et si r>0 c'est un min.

    sinon, on ne peut pas conclure.

    Cette méthode est très pratique.


    Romain

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