Bonjour!
j'aimerais savoir si pour déterminer les extréma locaux d'une fonction je peux chercher les points où la dérivée de cette fonction est nulle?
Exemple:
Si je dois déterminer les extréma locaux sur R2 de la fonction f(x,y) = x4 + y4 - 4xy
je peux chercher la dérivée f'(x,y) et résoudre f'(x,y) = 0
Merci
Il faut annuler les dérivées partielles par rapport à x et à y.
Oui mais attention, ce n'est pas parce que la différentielle s'annule en (a,b) que (a,b) est un extrêmum local, il faut calculer la Hessienne pour s'en assurer !
Lorsque j'annule les dérivées partielles par rapport à x et y, voici ce que je trouve et cela ne me semble par correct.
= 4x3 - 4y
et je pose 4x3 - 4y = 0
x3 = Y
et pour la dérivée partielle de f par rapport à Y je trouve
4y3-4x = 0
y3 = x
Et là je ne vois toujours pas les extréma locaux.
merci
On a :
df=(4x^3-4y)dx+(4y^3-4x)dy
Il faut résoudre le système :
4x^3-4y=0
4y^3-4x=0
x^3=y
y^3=x
Pas trop dur de voir que ça fait les points (0,0), (1,1) et (-1,-1).Envoyé par Ademma
Lorsque j'annule les dérivées partielles par rapport à x et y, voici ce que je trouve et cela ne me semble par correct.
et je pose 4x3 - 4y = 0
x3 = Y
et pour la dérivée partielle de f par rapport à Y je trouve
4y3-4x = 0
y3 = x
Et là je ne vois toujours pas les extréma locaux.
merci
Ensuite il faut un peu regarder au voisinage de ces points pour s'assurer que ce sont des extrema.
J'ai essayé de résoudre cela mais je ne sais le faire qu'avec une variable est que je peux faire par exple
x3= y
poser X =u+v
(u+v)3=Y et ici y est une cste.
Si tu poses :
r=d²f/dx²
s=d²f/dxdy
t=d²f/dy²
il suffit de regarder le signe de s²-rt pour savoir s'il s'agit d'un max ou d'un min local.
Seul problème, si c'est nul, on ne peut pas conclure... il faut faire une étude locale (Taylor de 2 variables).
Romain
Merci Jean Paul, et au risque de passer pour une idiote c'est très dur pour moi de voir les points qui semblent si évident, il y en a qui voit en maths et les autres. Moi j'ai besoin de comprendre. Alors si tu peux m'expliquer comment tu as résolu le système ce serait vraiment sympa!
Merci Romain, j'ai compris enfin!
Je précise un peu, toujours avec les mêmes notations (dont j'ai oublié le nom d'ailleurs - Binet ?)
si en (x,y) s²-rt > 0, alors (x,y) n'est pas un extrêmum
si en (x,y) s²-rt < 0, alors (x,y) est un extrêmum local et si r<0 c'est un max et si r>0 c'est un min.
sinon, on ne peut pas conclure.
Cette méthode est très pratique.
Romain
