Déterminer un inf et un sup...

[invitebb921944]

Bonjour tout le monde !
Je bloque sur un exo d'examen !
E (de R^3) est la sphère d'équation x²+y²+z²=1
Je pose f(x,y,z)=z²+y²+z²-1
Je dois déterminer l'inf et le sup de g(x,y,z)=(x+y+z)²+(x+y)²+x² sur E.
Je montre que f est C^1, que E est C^1, que g est C^1...
J'écris la différentielle de g :
dg=[2(x+y+z)+2(x+y)+2x]dx+[2(x+y+z)+2(x+y)]dy+[2(x+y+z)]dz
Puis :
df=2xdx+2ydy+2zdz

Et la je dis qu'en les points critiques de g restreint à E, la condition de Lagrange df=lambda*dg est vérifiée.
Dans un exo corrigé, on obtient un système qui nous permettait d'écrire x, y et z en fonction de lambda.
Or ici, j'obtiens systématiquement quelque chose de la forme x*p(lambda)=0
ou p(lambda) est une expression qui dépend de lambda.
J'ai des choses sembles lorsque j'essaie de calculer y et z.
Que faire ?????

Merci pour votre aide !
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[invitebb921944]

Même pas une petite idée ?
Pour les précisions :
d'habitude je détermine x, y et z en fonction de lambda, puis pour déterminer la valeur de lambda, je dis que x, y et z vérifient x²+y²+z²=1, ce qui me donne un système avec lambda.
Je n'ai plus qu'à calculer la valeur de g(x,y,z) en le point critique concerné.
Après je compare toute les valeurs de g(x,y,z) en tous les points critiques et je les classe par ordre croissant pour déterminer l'inf et le sup.

[invitedf667161]

Salut,

C'est vrai que les extrema lié, c'est troublant des fois. Le multiplicateur de Lagrange traine alors qu'il est censé être muet.

Pour ton exemple, et ça doit marcher assez souvent, je te propose de ne carrément pas l'écrire.
Disons que j'écris, pour simplifier : dg = a dx + b dy + c dz, où a b et c dépendent de x, y et z. De plus, on a df = 2x dx + 2y dy + 2z dz. Ce que dit le théorème, c'est que le vecteur (a,b,c) doit être proportionnel au vecteur (2x,2y,2z). A partir de là, tu peux laisser tomber le 2 et écrire tes conditions nécessaires d'extrema sous la forme : a/x = b/y = c/z.

De cette manière, tu zappes dès le début le lambda et tu devrais mieux t'en sortir.

En espérant être clair.

EDIT : ces conditions ne te donnent que deux équations, la troisième sera bien sûr l'appartenance du point à la sphère...

[invitebb921944]

Bon alors tout d'abord merci j'ai bien compris le principe.
Cela dit, les trois équations en questions me donne un système... disons assez difficile à résoudre alors je me demandais si quelqu'un pouvait vérifier mes calculs de dérivée ou me donner une astuce pour simplifier le système !

Merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf667161]

Tes calculs de dérivées m'ont l'air bon.

Le système tel que je l'ai posé ne m'a pas l'air mortel à résoudre : multiplie tout par xyz et tu y verras surement plus clair...

[invitebb921944]

Merci pour ton aide mais j'avoue ne toujours pas y voir plus clair quant à ce système...